Leçon 103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.) Les candidats parlent de groupe simple et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces notions. Entre autres, il faut savoir pourquoi on s'intéresse particulièrement aux groupes simples. La notion de produit semi-direct n'est plus au programme, mais lorsqu'elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). On pourra noter que les tables de caractères permettent d'illustrer toutes ces notions.

Vous n'êtes pas d'accord avec les recasages ci-dessous ? Connectez-vous pour proposer les vôtres !

Développements :

• Simplicité du groupe alterné An
• Simplicité du groupe alterné (par les commutateurs)
• A5 est l'unique groupe simple d'ordre 60
• Le groupe SO3(R) est simple
• Groupes d'ordre pq
• S4 est un groupe de pavage [ref]
• Sous-groupes distingués et tables de caractères
• Simplicité de SOn(R)
• Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal)
• Théorème de Sylow (version opération de groupes)
• Théorème de Frobenius-Zolotarev
• Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré

Plans/remarques :

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :