Développement : Théorème de Sylow (version opération de groupes)

Détails/Enoncé :

Soit $G$ un groupe fini et $p$ premier tel que $|G| = p^a m$ avec $a$ un entier non nul et $m$ premier à $p$. On note $n_p$ le nombre de $p$-Sylow de $G$. Alors $n_p$ est non nul et divise $m$. De plus $n_p = 1 [p]$ et tous les $p$-Sylow sont conjugés.

Ce développement présente une démonstration de ce théorème à l'aide d'opérations de groupes. Il existe une autre démonstration utilisant le principe de récurrence.

Recasages pour l'année 2025 :

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    D'après moi pour les leçons : 101 et 104.

    Je ne démontre que 3 des 4 théorèmes de Sylow (celui avec l'argument de Frattini étant nettement plus difficile), donc le développement se retrouve être un peu court.
    Rajouter la démonstration du théorème Cayley résout le problème.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Si on veut faire Sylow, il est important de savoir l'appliquer. Faire les exercices du Perrin, la plupart corrigé chez Ortiz ou Francinou-Gianella me parait indispensable.

    Je fais les trois théorèmes comme Perrin. Il faut être au clair sur les actions de groupes si on veut aller vite.

    Leçons 101, 103, 104, 190.
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    Super développement pour bosser les actions de groupes. N'hésitez pas à préparer un peu les exos potentiels qu'on peut vous donner sur ce thème (ne faites pas comme moi, je me suis fait cook sur les questions le jour j)
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    Fait aussi un très bon recasage dans la leçon nombres premiers, si l'on souhaite faire une partie sur les groupes.

    Pour la preuve que le nombres de p-sylow est congru à 1 modulo p, je me suis écarté de la preuve du Perrin, en passant plutôt par les normalisateurs et en utilisant de manière élégante que deux p-sylow du normalisateur sont congugués entre eux, puisqu'on montre juste avant que les p-sylow sont conjugués entre eux.

    En oral blanc, on m'a demandé de déterminer tous les p-sylow de GL_n(Fp)... préparez vous à cette question. Il est essentiel de connaître la preuve de Cayley, ainsi que les groupes de permutations plongent dans GL_n(K).
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 510 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 45 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 145 versions au total)
Théorie des groupes (bis), Delcourt (utilisée dans 10 versions au total)