Théorème de Sylow (version opération de groupes)

Un développement pas très dur, qui utilise toute l'artillerie des actions de groupes et qui est ô combien important dans la classification des groupes finis, ne vous en privez pas !

Théorème de Cauchy + Condition suffisante pour qu’un sous groupe soit distingué

Pour les leçons : 101, 104, 105

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Groupes finis. Exemples et applications.

Cette leçon est très calquée sur celle d'un ami grand fan de théorie des groupes ! Comme pour beaucoup de choses sur les groupes, tout est dans le Berhuy...
Si j'étais tombé sur celle-là le jour J, j'aurais très probablement enlevé la sous-partie sur les quaternions que je ne maîtrisais pas...
Je pense qu'il faut éviter de faire des rappels trop longs de généralités, d'actions de groupes et vite focus le plan sur les groupes finis (abéliens, non abéliens...)
La théorie de Sylow est hors-programme, mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
Dans le DEV 1, je rajoute 2 lemmes pour que ça tienne en 15 minutes : $\mathfrak{A}_n$ est engendré par les 3-cycles et ceux-ci sont tous conjugués dans $\mathfrak{A}_n$.

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Il y a énormément de choses à dire dans cette leçon et je n'ai pas réussi à faire un choix alors j'ai décidé de tout laisser pour donner un large point de vue sur ce qui était faisable. Les deux dernières parties sont hors programme donc pas nécessaires (sauf le paragraohe où l'on s'intéresse à des sous-groupes distingués) mais si jamais on parle d'une des parties il faut bien être au point dessus au risque d'en subir les conséquences pendant l'oral...
La théorie de Sylow n'est pas obligatoire non plus (car pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année et la partie géométrie est appréciée du jury.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Groupes finis. Exemples et applications.

Cette leçon ressemble beaucoup à celle juste au dessus (étrange...) !
On peut faire cette leçon en très (très !) grande majorité avec le Berhuy. Il faut éviter de faire énormément de rappels et il est préférable de donner beaucoup d'exemples et de les diversifier (par exemple en consacrant un petit bout de la leçon aux sous-groupes finis du groupe linéaire ou de ses sous-groupes).
La théorie de Sylow n'est pas obligatoire non plus (car pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.

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Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Il faut parler des classes de conjugaison et connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints et savoir l'appliquer en pratique.

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Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Tous les groupes dont on parle dans cette leçon doivent absolument être présentés sous l'angle de leurs générateurs et essayer de donner le plus d'exemples possibles au aussi variés que possibles : groupes cycliques, groupe symétrique, groupe diédral, groupe linéaire, groupe orthogonal, etc. Les groupes d'isométries des solides platoniciens sont également un bon investissement à faire pendant l'année.

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Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Cette leçon n'est pas la plus évidente à faire... Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe. Il faut également savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en dimension 2 ou 3 à partir d'une matrice (cas vectoriel) ou d'un système (cas affine).

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Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Cette leçon est très intéressante car elle est immense et elle permet ainsi de vraiment choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. On peut par exemple piocher dans les groupes, la géométrie euclidienne et affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité par exemple ! Autrement dit, il est possible de faire une leçon qui n'a aucun point commun avec la mienne mais qui soit très bien faite !

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