Leçon 191 : Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.

(2022 : 191 - Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.) Le jury souhaite proposer une leçon qui offre une ouverture large autour du thème de la géométrie. Avec cet intitulé, les candidats sont libres de présenter des résultats et des exemples très variés en lien avec la géométrie. L'objectif n'est pas de couvrir le plus d'aspects possible, mais plutôt d'en proposer certains suffisamment consistants et variés. À partir du moment où ils sont de nature géométrique, tous les éléments du programme peuvent être pertinents. En contrepartie de cette liberté laissée aux candidats, une difficulté est de structurer la présentation des objets et des notions choisies. Ainsi, plusieurs approches sont possibles pour organiser cette leçon, par exemple : - en regroupant les outils par "famille" : outils matriciels (repérage des points par des matrices colonnes, des transformations par des matrices, rang, réduction, etc.), outils polynomiaux (formes quadratiques, déterminant, résultant, etc.), outils structurels (groupes, corps) ; - ou par niveau d'abstraction/de généralité (nombres réels, complexes, matrices, groupes...) ; - ou par type d'objectifs (identifier des objets géométriques, les mesurer, les classifier, démontrer des résultats en utilisant des transformations géométriques...) Il est aussi possible de se focaliser sur un seul type d'outils (par exemple algèbre linéaire, géométrie affine ou groupes) en détaillant plusieurs applications en géométrie ou sur une question géométrique fouillée à l'aide de diverses techniques (par exemple sur des problèmes impliquant des figures géométriques comme les cercles et triangles, les polygones et polyèdres réguliers, etc.). Des situations "élémentaires", dans le plan, permettent certainement de mettre en valeur des connaissances et un recul mathématique. Il faut bien éviter l'écueil d'un catalogue fastidieux ou celui qui consisterait à recycler directement le contenu d'une autre leçon avec un vague habillage géométrique. Parmi les nombreux éléments qui peuvent être discutés, on peut indiquer : - les notions de distance, aire, volume. Notamment les propriétés de la matrice de Gram, le lien entre déterminant et aire d'un parallélogramme ou volume d'un parallélépipède, la construction du produit vectoriel et du produit mixte,... peuvent être exploités avec pertinence dans cette leçon. On peut ainsi être amené à étudier l'aire balayée par un arc paramétré du plan, la position d'un point par rapport à un cercle circonscrit à un triangle, etc. Le déterminant de Cayley-Menger permet de mettre en évidence des conditions pour que $n+1$ points de $R^n$ forment une base affine, ou que $n+2$ points de $R^n$ soient cocycliques. Dans une autre direction, la division euclidienne dans Z donne une preuve d'une forme du théorème de la base adaptée, avec pour conséquence le calcul du volume (d'une maille élémentaire) d'un sous réseau de $Z^n$ comme étant le déterminant d'un système générateur dans la base canonique. - l'apport de l'algèbre linéaire à la géométrie. On peut ainsi exploiter le calcul matriciel et les techniques de réduction pour mettre en évidence des informations de nature géométrique (avec les exemples fondamentaux des homothéties, projections, symétries, affinités, rotations, la classification des isométries vectorielles, etc.). On peut être alors amené à présenter le théorème de Cartan-Dieudonné sur la décomposition d'isométries euclidiennes en produit de réflexions ou encore évoquer une (ou des) interprétation(s) géométrique(s) de la décomposition en valeurs singulières. Dans cette même veine, la leçon peut être orientée vers la géométrie affine, en s'adossant à la théorie des espaces vectoriels pour définir certains objets (espaces et sous-espaces affines, applications affines, repères affines, etc), ce qui permet, par exemple, d'établir ainsi certains résultats classiques, comme les théorèmes de Thalès, Pappus, Desargues,... - l'analyse des formes quadratiques permet d'aborder des problèmes géométriques : étude des coniques, quadriques, classification des quadriques de $R^n$, interprétation géométrique de la signature, application des méthodes de réduction, etc ... - la théorie des groupes est un champ naturel pour cette leçon (mais qui n'est cependant pas indispensable) : groupes de transformations (isométries, déplacements, similitudes, translations), composition de transformations, mise en évidence d'invariants fondamentaux (angle, birapport, excentricité d'une conique). Il est possible de se focaliser sur des groupes de transformations préservant une certaine structure géométrique et en distinguant parmi eux les groupes finis (groupes d'isométries classiques), les groupes discrets infinis (avec des translations, groupes de pavages) et, pour aller plus loin, les groupes continus (groupes de Lie). - les techniques de convexité constituent aussi un champ fructueux : le théorème de séparation par un hyperplan dans $R^n$ de Hahn-Banach et, en corollaire, le théorème de Helly permettent par exemple d'établir des propriétés intéressantes sur les cordes de convexes compacts. - certains candidats peuvent trouver intérêt à aborder les questions d'intersection de courbes polynomiales, qui permettent notamment de mettre en oeuvre le théorème de Bezout et des méthodes exploitant la notion de résultant. - un grand nombre de problèmes de géométrie peuvent être traités en exploitant le formalisme des nombres complexes. Il est tout à fait approprié d'évoquer l'étude des inversions et, en particulier la possibilité de ramener un cercle à une droite et inversement ; la formule de Ptolémée illustre bien l'utilisation de cet outil. On peut parler des suites définies par récurrence par une homographie et leur lien avec la réduction dans $SL_2(C)$ et aborder la construction de la sphère de Riemann. - les problématiques de la construction à la règle et au compas constituent un autre axe pertinent pour cette leçon, avec le théorème de Wantzel, et peuvent conduire à s'intéresser à des extensions de corps. Comme dans le cas des autres leçons, il est tout à fait bienvenu de chercher à illustrer cette leçon par des exemples issus de l'analyse, des probabilités, de la statistique (par exemple en évoquant l'interprétation géométrique de l'analyse en composantes principales), du calcul formel (par exemple avec les applications du résultant) ou du calcul scientifique (par exemple en présentant des problématiques de géométrie computationnelle, comme le calcul d'enveloppe convexe, les algorithmes de triangulation Delaunay, les diagrammes de Voronoi...). Les thèmes en lien avec la géométrie projective ou la géométrie algébrique peuvent permettre à certains candidats de présenter des résultats très avancés. Cette leçon nécessite une préparation très personnelle et réfléchie de la part des candidats. Les exemples et les résultats qui y sont présentés ont vocation à inciter les candidats à enrichir les autres leçons de cette épreuve d'exemples issus de la géométrie.
(2020 : 191 - Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.) Rapport du jury 2019. Si cette nouvelle leçon est proposée alors que les intitulés « Applications des nombres complexes à la géométrie » et « Utilisation des groupes en géométrie » ne seront pas utilisés, il serait cependant erroné de l’envisager comme une simple fusion de leurs contenus. Le jury souhaite proposer une leçon qui offre une ouverture large autour du thème de la géométrie. Avec cet intitulé, les candidats sont libres de présenter des résultats et des exemples très variés en lien avec la géométrie. L’objectif n’est pas de couvrir le plus d’aspects possible, mais plutôt d’en mettre certains en avant tout en motivant les choix personnels des candidats. À partir du moment où ils sont de nature géométrique, tous les éléments du programme peuvent être pertinents. En contrepartie de cette liberté laissée aux candidats, la difficulté consiste à parvenir à structurer la présentation des objets et des notions choisies. Ainsi, plusieurs approches sont également valables pour organiser cette leçon,par exemple : — en regroupant les outils par « famille » : outils matriciels (repérage des points par des matrices colonnes, des transformations par des matrices, rang, réduction, etc.), outils polynomiaux (formes quadratiques, déterminant, résultant, etc.), outils structurels (groupes, corps) ; — ou par niveau d’abstraction/de généralité (nombres réels, complexes, matrices, groupes...) ; — ou par type d’objectifs (identifier des objets géométriques, les mesurer, les classifier, démontrer des résultats en utilisant des transformations géométriques...) Il est aussi possible de se focaliser sur un seul type d’outils (par exemple algèbre linéaire, géométrie affine ou groupes) en détaillant plusieurs applications en géométrie ou sur une question géométrique fouillée à l’aide de diverses techniques (par exemple sur des problèmes impliquant des figures géométriques comme les cercles et triangles, les polygones et polyèdres réguliers, etc.). Des situations « élémentaires », dans le plan, permettent certainement de mettre en valeur des connaissances et un recul mathématique. Il faut bien éviter l’écueil d’un catalogue fastidieux ou celui qui consisterait à recycler directement le contenu d’une autre leçon avec un vague habillage géométrique. Parmi les nombreux éléments qui peuvent être discutés, on peut indiquer : — les notions de distance, aire, volume. Notamment les propriétés de la matrice de Gram, le lien entre déterminant et aire d’un parallélogramme ou volume d’un parallélépipède, la construction du produit vectoriel et du produit mixte,... peuvent être exploités avec pertinence dans cette leçon. On peut ainsi être amené à étudier l’aire balayée par un arc paramétré du plan, la position d’un point par rapport à un cercle circonscrit à un triangle, etc. Le déterminant de Cayley-Menger permet de mettre en évidence des conditions pour que n+1 points de $R^n$ forment une base affine, ou que $n+2$ points de $R^n$ soient cocycliques. Dans une autre direction, la division euclidienne dans $Z$ donne une preuve d’une forme du théorème de la base adaptée, avec pour conséquence le calcul du volume (d’une maille élémentaire) d’un sous réseau de $Z^n$ comme étant le déterminant d’un système générateur dans la base canonique. — l’apport de l’algèbre linéaire à la géométrie. On peut ainsi exploiter le calcul matriciel et les techniques de réduction pour mettre en évidence des informations de nature géométrique (avec les exemples fondamentaux des homothéties, projections, symétries, affinités, rotations, la classification des isométries vectorielles, etc.). On peut être alors amené à présenter le théorème de Cartan-Dieudonné sur la décomposition d’isométries euclidiennes en produit de réflexions ou encore évoquer une (ou des) interprétation(s) géométrique(s) de la décomposition en va-leurs singulières. Dans cette même veine, la leçon peut être orientée vers la géométrie affine,en s’adossant à la théorie des espaces vectoriels pour définir certains objets (espaces et sous-espaces affines, applications affines, repères affines, etc), ce qui permet, par exemple, d’établir ainsi certains résultats classiques, comme les théorèmes de Thalès, Pappus, Desargues,... — l’analyse des formes quadratiques permet d’aborder des problèmes géométriques : étude des coniques, quadriques, classification des quadriques de $R^n$, interprétation géométrique de la signature, application des méthodes de réduction, etc. — la théorie des groupes est un champ naturel pour cette leçon (mais qui n’est cependant pas indispensable) : groupes de transformations (isométries, déplacements, similitudes, translations),composition de transformations, mise en évidence d’invariants fondamentaux (angle, birapport,excentricité d’une conique). Il est possible de se focaliser sur des groupes de transformations préservant une certaine structure géométrique et en distinguant parmi eux les groupes finis (groupes d’isométries classiques), les groupes discrets infinis (avec des translations, groupes de pavages) et, pour aller plus loin, les groupes continus (groupes de Lie). — les techniques de convexité constituent aussi un champ fructueux : le théorème de séparation par un hyperplan dans $R^n$ de Hahn-Banach et, en corollaire, le théorème de Helly permettent par exemple d’établir des propriétés intéressantes sur les cordes de convexes compacts. — certains candidats peuvent trouver intérêt à aborder les questions d’intersection de courbes polynomiales, qui permettent notamment de mettre en œuvre le théorème de Bezout et des méthodes exploitant la notion de résultant. — un grand nombre de problèmes de géométrie peuvent être traités en exploitant le formalisme des nombres complexes. Il est tout à fait approprié d’évoquer l’étude des inversions et, en particulier la possibilité de ramener un cercle à une droite et inversement ; la formule de Ptolémée illustre bien l’utilisation de cet outil. On peut parler des suites définies par récurrence par une homographie et leur lien avec la réduction dans $SL_2(C)$ et aborder la construction de la sphère de Riemann. — les problématiques de la construction à la règle et au compas constituent un autre axe pertinent pour cette leçon, avec le théorème de Wantzel, et peuvent conduire à s’intéresser à des extensions de corps. Comme dans le cas des autres leçons, il est tout à fait bienvenu de chercher à illustrer cette leçon par des exemples issus de l’analyse, des probabilités, de la statistique (par exemple en évoquant l’interprétation géométrique de l’analyse en composantes principales), du calcul formel (par exemple avec les applications du résultant) ou du calcul scientifique (par exemple en présentant des problématiques de géométrie computationnelle, comme le calcul d’enveloppe convexe, les algorithmes de triangulation Delaunay, les diagrammes de Voronoi...). Les thèmes en lien avec la géométrie projective ou la géométrie algébrique peuvent permettre à certains candidats de présenter des résultats très avancés. Cette leçon nécessite une préparation très personnelle et réfléchie de la part des candidats. Les exemples et les résultats qui y sont présentés ont vocation à inciter les candidats à enrichir les autres leçons de cette épreuve d’exemples issus de la géométrie.
(2019 : 183 - Utilisation des groupes en géométrie.) Si cette nouvelle leçon [Leçon 191] est proposée alors que les intitulés « Applications des nombres complexes à la géométrie » et « Utilisation des groupes en géométrie » ne seront pas utilisés, il serait cependant erroné de l’envisager comme une simple fusion de leurs contenus. Le jury souhaite proposer une leçon qui offre une ouverture large autour du thème de la géométrie. Avec cet intitulé, les candidats sont libres de présenter des résultats et des exemples très variés en lien avec la géométrie. L’objectif n’est pas de couvrir le plus d’aspects possible, mais plutôt d’en mettre certains en avant tout en motivant les choix personnels des candidats. À partir du moment où ils sont de nature géométrique,tous les éléments du programme peuvent être pertinents. En contrepartie de cette liberté laissée aux candidats, la difficulté consiste à parvenir à structurer la présentation des objets et des notions choisies. Ainsi, plusieurs approches sont également valables pour organiser cette leçon, par exemple : $\\$ — en regroupant les outils par « famille » : outils matriciels (repérage des points par des matrices colonnes, des transformations par des matrices, rang, réduction, etc.), outils polynomiaux(formes quadratiques, déterminant, résultant, etc.), outils structurels (groupes, corps) ; $\\$ — ou par niveau d’abstraction/de généralité (nombres réels, complexes, matrices, groupes...) ; $\\$ — ou par type d’objectifs (identifier des objets géométriques, les mesurer, les classifier, démontrer des résultats en utilisant des transformations géométriques...) $\\$ Il est aussi possible de se focaliser sur un seul type d’outils (par exemple algèbre linéaire, géométrie affine ou groupes) en détaillant plusieurs applications en géométrie ou sur une question géométrique fouillée à l’aide de diverses techniques (par exemple sur des problèmes impliquant des figures géométriques comme les cercles et triangles, les polygones et polyèdres réguliers, etc.). $\\$ Des situations « élémentaires », dans le plan, permettent certainement de mettre en valeur des connaissances et un recul mathématique. Il faut bien éviter l’écueil d’un catalogue fastidieux ou celui qui consisterait à recycler directement le contenu d’une autre leçon avec un vague habillage géométrique. $\\$ Parmi les nombreux éléments qui peuvent être discutés, on peut indiquer : $\\$ — les notions de distance, aire, volume. Notamment les propriétés de la matrice de Gram, le lien entre déterminant et aire d’un parallélogramme ou volume d’un parallélépipède, la construction du produit vectoriel et du produit mixte,... peuvent être exploités avec pertinence dans cette leçon. On peut ainsi être amené à étudier l’aire balayée par un arc paramétré du plan, la position d’un point par rapport à un cercle circonscrit à un triangle, etc. Le déterminant de Cayley-Menger permet de mettre en évidence des conditions pour que $n+1$ points de $\textbf{R}^n$ forment une base affine, ou que $n+2$ points de $\textbf{R}^n$ soient cocycliques. Dans une autre direction, la division euclidienne dans $\textbf{Z}$ donne une preuve d’une forme du théorème de la base adaptée, avec pour conséquence le calcul du volume (d’une maille élémentaire) d’un sous réseau de $\textbf{Z}^n$ comme étant le déterminant d’un système générateur dans la base canonique. $\\$ — l’apport de l’algèbre linéaire à la géométrie. On peut ainsi exploiter le calcul matriciel et les techniques de réduction pour mettre en évidence des informations de nature géométrique (avec les exemples fondamentaux des homothéties, projections, symétries, affinités, rotations, la classification des isométries vectorielles, etc.). On peut être alors amené à présenter le théorème de Cartan-Dieudonné sur la décomposition d’isométries euclidiennes en produit de réflexions ou encore évoquer une (ou des) interprétation(s) géométrique(s) de la décomposition en valeurs singulières. Dans cette même veine, la leçon peut être orientée vers la géométrie affine, en s’adossant à la théorie des espaces vectoriels pour définir certains objets (espaces et sous-espaces affines, applications affines, repères affines, etc), ce qui permet, par exemple, d’établir ainsi certains résultats classiques, comme les théorèmes de Thalès, Pappus, Desargues,... $\\$ — l’analyse des formes quadratiques permet d’aborder des problèmes géométriques : étude des coniques, quadriques, classification des quadriques deRn, interprétation géométrique de la signature, application des méthodes de réduction, etc. $\\$ — la théorie des groupes est un champ naturel pour cette leçon (mais qui n’est cependant pas indispensable) : groupes de transformations (isométries, déplacements, similitudes, translations),composition de transformations, mise en évidence d’invariants fondamentaux (angle, birapport,excentricité d’une conique). Il est possible de se focaliser sur des groupes de transformations préservant une certaine structure géométrique et en distinguant parmi eux les groupes finis (groupes d’isométries classiques), les groupes discrets infinis (avec des translations, groupes de pavages) et, pour aller plus loin, les groupes continus (groupes deLie). $\\$ — les techniques de convexité constituent aussi un champ fructueux : le théorème de séparation par un hyperplan dans $\textbf{R}^n$ de Hahn-Banach et, en corollaire, le théorème de Helly permettent par exemple d’établir des propriétés intéressantes sur les cordes de convexes compacts. $\\$ — certains candidats peuvent trouver intérêt à aborder les questions d’intersection de courbes polynomiales, qui permettent notamment de mettre en œuvre le théorème deBezoutet des méthodes exploitant la notion de résultant. $\\$ — un grand nombre de problèmes de géométrie peuvent être traités en exploitant le formalisme des nombres complexes. Il est tout à fait approprié d’évoquer l’étude des inversions et, en particulier la possibilité de ramener un cercle à une droite et inversement ; la formule de Ptolémée illustre bien l’utilisation de cet outil. On peut parler des suites définies par récurrence par une homographie et leur lien avec la réduction dans $Sl_2(\textbf{C})$ et aborder la construction de la sphère de Riemann. $\\$ — les problématiques de la construction à la règle et au compas constituent un autre axe pertinent pour cette leçon, avec le théorème de Wantzel, et peuvent conduire à s’intéresser à des extensions de corps. $\\$ Comme dans le cas des autres leçons, il est tout à fait bienvenu de chercher à illustrer cette leçon par des exemples issus de l’analyse, des probabilités, de la statistique (par exemple en évoquant l’interprétation géométrique de l’analyse en composantes principales), du calcul formel (par exemple avec les applications du résultant) ou du calcul scientifique (par exemple en présentant des problématiques de géométrie computationnelle, comme le calcul d’enveloppe convexe, les algorithmes de triangulation Delaunay, les diagrammes de Voronoi...). Les thèmes en lien avec la géométrie projective ou la géométrie algébrique peuvent permettre à certains candidats de présenter des résultats très avancés. Cette leçon nécessite une préparation très personnelle et réfléchie de la part des candidats. Les exemples et les résultats qui y sont présentés ont vocation à inciter les candidats à enrichir les autres leçons de cette épreuve d’exemples issus de la géométrie.
(2017 : 183 - Utilisation des groupes en géométrie.) C’est une leçon dans laquelle on s’attend à trouver des utilisations variées. On s’attend à ce que soient définis différents groupes de transformations (isométries, déplacements, similitudes, translations) et à voir résolus des problèmes géométriques par des méthodes consistant à composer des transformations. De plus, les actions de groupes sur la géométrie permettent aussi de dégager des invariants essentiels (angle, birapport, excentricité d’une conique). Les groupes d’isométries d’une figure sont incontournables.
(2016 : 183 - Utilisation des groupes en géométrie.) C’est une leçon dans laquelle on s’attend à trouver des utilisations variées. On s’attend à ce que soient définis différents groupes de transformations (isométries, déplacements, similitudes, translations) et à voir résolus des problèmes géométriques par des méthodes consistant à composer des transformations. De plus, les actions de groupes sur la géométrie permettent aussi de dégager des invariants essentiels (angle, birapport, excentricité d’une conique). Les groupes d’isométries d’une figure sont incontournables.
(2015 : 183 - Utilisation des groupes en géométrie.) C'est une leçon transversale et difficile, qui peut aborder des aspects variés selon les structures algébriques présentes. D'une part un groupe de transformations permet de ramener un problème de géométrie à un problème plus simple. D'autre part, les actions de groupes sur la géométrie permettent de dégager des invariants essentiels (angle, birapport). On retrouvera encore avec bonheur les groupes d'isométries d'un solide.
(2014 : 183 - Utilisation des groupes en géométrie.) C'est une leçon transversale et difficile, qui peut aborder des aspects variés selon les structures algébriques présentes. D'une part un groupe de transformations permet de ramener un problème de géométrie à un problème plus simple. D'autre part, les actions de groupes sur la géométrie permettent de dégager des invariants essentiels (angle, birapport). On retrouvera encore avec bonheur les groupes d'isométries d'un solide.