Développement : Représentation paramétrique, représentation cartésienne

Détails/Enoncé :

Étant donné un sous-espace vectoriel, on peut le représenter en pratique de deux façons : par un sysème d'équations linéaires dont il est ensemble de solutions (donc par le noyau d'une matrice $A$ qu'on peut supposer de rang plein) ou par une base (donc par l'image d'une matrice $B$ de rang plein). Le lien entre ces deux matrices est alors que $AB=0$. Le résultat central de ce développement est de trouver, étant donné $A$ ou $B$, une matrice plus simple (échelonnée ou co-échelonnée) donnant la même représentation, et passer d'une représentation à l'autre.
Plus précisément, si on pose \[\mathcal{R}=\{(A,B) \in \mathcal{M}_{n-m,n}\times \mathcal{M}_{n,m} | AB=0,~ rg(A)=n-m,~ rg(B)=m\}\]
alors dans chaque orbite de $\mathcal{R}$ sous l'action de $GL_{n-m} \times GL_m$ il y a un unique couple $(E,E^{\wedge})$ avec $E$ échelonnée réduite en ligne, $E^{\wedge}$ co-échelonnée réduite en colonne, telles que l'on a un procédé effectif pour passer de $E$ à $E^{\wedge}$.
Cela se traduit donc bien par le fait qu'on puisse trouver des matrices simples donnant les paramétrisations, et que l'on peut passer effectivement de l'une à l'autre.

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  • Remarque :
    C'est un dév peu habituel, mais pas très dur et bien fait dans le NH2G2 (tome 1). Une version rédigée de ma part arrive.

Références utilisées dans les versions de ce développement :