(2022 : 162 - Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.)
Dans cette leçon, les techniques liées au simple pivot de Gauss constituent l'essentiel des attendus. Il est impératif de faire le lien avec la notion de système échelonné (dont on donnera une définition précise et correcte) et de situer l'ensemble dans le contexte de l'algèbre linéaire, sans oublier la dualité. Un point de vue opératoire doit accompagner l'étude théorique et l'intérêt algorithmique des méthodes présentées doit être expliqué, éventuellement en l'illustrant par des exemples simples (où l'on attend parfois une résolution explicite).
Parmi les conséquence théoriques, les candidats peuvent notamment donner des systèmes de générateurs de $GL_n(K)$ et $SL_n(K)$. Ils est aussi pertinent de présenter les relations de dépendance linéaire sur les colonnes d'une matrice échelonnée qui permettent de décrire simplement les orbites de l'action à gauche de $GL_n(K)$ sur $M_n(K)$ donnée par $(P,A) \longmapsto PA$.
S'ils le désirent, les candidats peuvent exploiter les propriétés des systèmes d'équations linéaires pour
définir la dimension des espaces vectoriels et obtenir une description de l'intersection de deux sous-
espaces vectoriels donnés par des systèmes générateurs, ou d'une somme de deux sous-espaces vectoriels
donnés par des équations.
De même, des discussions sur la résolution de systèmes sur Z et la forme normale de Hermite peuvent
trouver leur place dans cette leçon. Enfin, il est possible de présenter les décompostions LU et de
Choleski, en évaluant le coût de ces méthodes ou encore d'étudier la résolution de l'équation normale
associée aux problèmes des moindres carrés et la détermination de la solution de norme minimale par
la méthode de décomposition en valeurs singulières.