Leçon 162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

(2024) 162

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 162 - Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.) Dans cette leçon, les techniques liées au simple pivot de Gauss constituent l'essentiel des attendus. Il est impératif de faire le lien avec la notion de système échelonné (dont on donnera une définition précise et correcte) et de situer l'ensemble dans le contexte de l'algèbre linéaire, sans oublier la dualité. Un point de vue opératoire doit accompagner l'étude théorique et l'intérêt algorithmique des méthodes présentées doit être expliqué, éventuellement en l'illustrant par des exemples simples (où l'on attend parfois une résolution explicite). Parmi les conséquence théoriques, les candidats peuvent notamment donner des systèmes de générateurs de $GL_n(K)$ et $SL_n(K)$. Ils est aussi pertinent de présenter les relations de dépendance linéaire sur les colonnes d'une matrice échelonnée qui permettent de décrire simplement les orbites de l'action à gauche de $GL_n(K)$ sur $M_n(K)$ donnée par $(P,A) \longmapsto PA$. S'ils le désirent, les candidats peuvent exploiter les propriétés des systèmes d'équations linéaires pour définir la dimension des espaces vectoriels et obtenir une description de l'intersection de deux sous- espaces vectoriels donnés par des systèmes générateurs, ou d'une somme de deux sous-espaces vectoriels donnés par des équations. De même, des discussions sur la résolution de systèmes sur Z et la forme normale de Hermite peuvent trouver leur place dans cette leçon. Enfin, il est possible de présenter les décompostions LU et de Choleski, en évaluant le coût de ces méthodes ou encore d'étudier la résolution de l'équation normale associée aux problèmes des moindres carrés et la détermination de la solution de norme minimale par la méthode de décomposition en valeurs singulières.

(2019 : 162 - Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.) Dans cette leçon, les techniques liées au simple pivot de Gauss constituent l’essentiel des attendus. Il est impératif de faire le lien avec la notion de système échelonné (dont on donnera une définition précise et correcte) et de situer l’ensemble dans le contexte de l’algèbre linéaire, sans oublier la dualité. Un point de vue opératoire doit accompagner l’étude théorique et l’intérêt algorithmique des méthodes présentées doit être expliqué, éventuellement en l’illustrant par des exemples simples(où l’on attend parfois une résolution explicite). $\\$ Parmi les conséquence théoriques, les candidats peuvent notamment donner des systèmes de générateurs de $Gl_n(\textbf{K})$ et $Sl_n(\textbf{K})$. Ils est aussi pertinent de présenter les relations de dépendance linéaire sur les colonnes d’une matrice échelonnée qui permettent de décrire simplement les orbites de l’action à gauche de $Gl(n,textbf{K})$ sur $M_n(\textbf{K})$ donnée par $(P,A) \mapsto PA$. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent exploiter les propriétés des systèmes d’équations linéaires pour définir la dimension des espaces vectoriels et obtenir une description de l’intersection de deux sous-espaces vectoriels donnés par des systèmes générateurs, ou d’une somme de deux sous-espaces vectoriels donnés par des équations. $\\$ De même, des discussions sur la résolution de systèmes sur $\textbf{Z}$ et la forme normale de Hermite peuvent trouver leur place dans cette leçon. Enfin, il est possible de présenter les décompositions LU et de Choleski, en évaluant le coût de ces méthodes ou encore d’étudier la résolution de l’équation normale associée aux problèmes des moindres carrés et la détermination de la solution de norme minimale par la méthode de décomposition en valeurs singulières.
(2017 : 162 - Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.) Dans cette leçon, les techniques liées au simple pivot de Gauss constituent l’essentiel des attendus. Il est impératif de présenter la notion de système échelonné, avec une définition précise et correcte, et de situer l’ensemble dans le contexte de l’algèbre linéaire (sans oublier la dualité). Un point de vue opératoire doit accompagner l’étude théorique et l’intérêt pratique (algorithmique) des méthodes présentées doit être expliqué y compris sur des exemples simples où l’on attend parfois une résolution explicite. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter les relations de dépendance linéaire sur les colonnes d’une matrice échelonnée qui permettent de décrire simplement les orbites de l’action à gauche de $GL(n,K)$ sur $M_n(K)$ donnée par $(P,A) \longmapsto PA$. De même, des discussions sur la résolution de systèmes sur Z et la forme normale de Hermite peuvent trouver leur place dans cette leçon. Enfin, il est possible de présenter les décompostions LU et de Choleski , en évaluant le coût de ces méthodes ou encore d’étudier la résolution de l’équation normale associée aux problèmes des moindres carrés et la détermination de la solution de norme minimale par la méthode de décomposition en valeurs singulières.
(2016 : 162 - Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.) Dans cette leçon, les techniques liées au simple pivot de Gauss constituent l’essentiel des attendus. Il est impératif de présenter la notion de système échelonné, avec une définition précise et correcte, et de situer l’ensemble dans le contexte de l’algèbre linéaire (sans oublier la dualité). Un point de vue opératoire doit accompagner l’étude théorique et l’intérêt pratique (algorithmique) des méthodes présentées doit être expliqué y compris sur des exemples simples où l’on attend parfois une résolution explicite. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter les relations de dépendances linéaires sur les colonnes d’une matrice échelonnée qui permettent de décrire simplement les orbites de l’action à gauche de $GL(n,K)$ sur $M_n(K)$ donnée par $(P,A) \longmapsto PA$. De même, des discussions sur la résolution de systèmes sur Z et la forme normale de Hermite peuvent trouver leur place dans cette leçon.
(2015 : 162 - Systèmes d'équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.) Il semble que cette leçon soit moins choisie par les candidats depuis l'ajout de l'aspect algorithmique dans l'intitulé. A ce sujet, il faut savoir que les techniques liées au simple pivot de Gauss constituent l'essentiel des attendus. La leçon doit impérativement présenter la notion de système échelonné, avec une définition précise et correcte et situer l'ensemble dans le contexte de l'algèbre linéaire (sans oublier la dualité !). Pour les candidats chevronnés, les relations de dépendances linéaires sur les colonnes d'une matrice échelonnée sont claires et permettent de décrire simplement les orbites de l'action à gauche de $GL(n,K)$ sur $M_n(K)$ donnée par $(P,A) \longmapsto PA$. Un point de vue opératoire doit accompagner l'étude théorique et l'intérêt pratique (algorithmique) des méthodes présentées doit être expliqué y compris sur des exemples simples où l'on attend parfois une résolution explicite. Des discussions sur la résolution de systèmes sur Z et la forme normale de Hermite peuvent trouver leur place dans cette leçon.
(2014 : 162 - Systèmes d'équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.) Le jury n'attend pas une version à l'ancienne articulée autour du théorème de Rouché-Fontené, qui n'est pas d'un grand intérêt dans sa version traditionnellement exposée. La leçon doit impérativement présenter la notion de système échelonné, avec une définition précise et correcte et situer l'ensemble dans le contexte de l'algèbre linéaire (sans oublier la dualité !). Par exemple les relations de dépendances linéaires sur les colonnes d'une matrice échelonnée sont claires et permettent de décrire simplement les orbites de l'action à gauche de $GL(n,K)$ sur $M_n(K)$ donnée par $(P,A) \rightarrow PA$. Le candidat doit pouvoir écrire un système d'équations de l'espace vectoriel engendré par les colonnes. Un point de vue opératoire doit accompagner l'étude théorique et l'intérêt pratique (algorithmique) des méthodes présentées doit être expliqué y compris sur des exemples simples où l'on attend parfois une résolution explicite.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 162 - Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente.

    I. Systèmes linéaires et contexte
    1) Définition, traduction matricielle
    2) Cramer et introduction du déterminant
    3) Système de Cramer, solutions de AX = B
    II. Résolutions de systèmes linéaires
    1) Opérations élémentaires, systèmes équivalents
    2) Pivot de Gauss, systèmes échelonnés
    3) Un exemple de système linéaires X = AX + XB (DVT : Sylvester)
    (ops: 3) Générateurs de SLn et GLn)
    III. Résolution numérique d'AX=B
    1) A symétrique def positive (DVT : gradient à pas opti)
    2) Méthode itérative (DVT : méthode itérative)


  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon assez chargée, qui pourrait l'être encore plus d'un point de vue de l'algèbre. J'ai fait le choix d'une approche par les résolutions algorithmiques : méthodes directes et itératives. La première partie algébrique est cependant nécessaire, notamment pour décrire l'espace des solutions. Elle pourrait être plus fournie en contrepartie d'une réduction des parties suivantes plus analytiques (surtout la dernière).
    Il faut être capable de comparer entre elles les méthodes de résolution présentées et de donner leurs avantages et inconvénients les unes par rapport aux autres.
    Le Ciarlet est excellent sur les méthodes numériques et contient des exemples très illustratifs de la théorie et constitue également la source de mes développements. N'importe quel tout-en-un de sup devrait faire l'affaire pour les aspects algébriques.
    Préparée en oral blanc, contactez-moi pour les erreurs.

    1.Systèmes linéaires
    1.1.Systèmes échelonnés
    1.2.Existence et unicité des solutions
    2.Méthodes directes
    2.1.Approche naïve
    2.2.Pivot de Gauss
    2.3.Du rôle du pivot [DEV1 : LU + Cholesky]
    3.Méthodes itératives
    3.1.Analyse matricielle
    3.1.1.Rayon spectral
    3.1.2.Conditionnement
    3.2.Méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel et relaxation [DEV2 : Ostrowski-Reich]
  • Références :
  • Fichier :

2024 : Leçon 162 - Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon honnêtement assez compliquée à préparer et qui nécessite pas mal de références différentes. Le détail de l'algorithme du pivot de Gauss est peut-être un peu trop "long" pour être inclus dans le plan, mais d'un autre côté c'est un élément central de la leçon…

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta plan (simple mais qui a bien marché):

    I) Notion d'échelonnement: matrices élémentaires (transvection, permutation, dilatation), matrices échelonnées et comment les obtenir grâce aux matrices élémentaires (cet algorithme est appelé le pivot de Gauss), application aux systèmes linéaires (définition, rang, système de Cramer, ensemble de solutions, exemple de résolution). Problème de la formule de Cramer: le nombre d'opérations en n!. D'où le besoin d'autres méthodes:
    [Ref: tout livre de MPSI/L1, j'ai utilisé le R. Mansuy MPSI chez Vuibert]

    II) Méthodes directes de résolution
    Pivot de Gauss (échelonnement en lignes) avec ou sans changement de pivot (différences et conséquences numériques), décomposition LU et complexité (DEV 1)
    [Ref: Dumas et Caldero/Peronnier]

    III) Méthodes itératives de résolution
    Définition d'une méthode itérative, définition des méthodes de splitting (A=M-N), condition nécessaire et suffisante de convergence de ces méthodes (DEV 2), exemples (Jacobi, Gauss-Seidel)
    [Ref: Dumas et Ciarlet]
  • Références :
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    Plan semi détaillé.

    La leçon me paraît un peu vide, je sais pas trop quoi raconter d'autre.
  • Fichier :

2023 : Leçon 162 - Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 162 - Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.


2020 : Leçon 162 - Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 162 - Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.


2018 : Leçon 162 - Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorith- miques et conséquences théoriques.


2017 : Leçon 162 - Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.


2016 : Leçon 162 - Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.


2015 : Leçon 162 - Systèmes d'équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.


Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Maths MPSI : Tout-en-un, Roger Mansuy (utilisée dans 1 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 63 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 96 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 457 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 107 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 52 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 69 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 34 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 275 versions au total)
Analyse matricielle , Rombaldi (utilisée dans 21 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 23 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 76 versions au total)
Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas (utilisée dans 11 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 30 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Algèbre linéaire numérique., Allaire, Grégoire & Kaber, Sidi Mahmoud (utilisée dans 8 versions au total)
Algèbre linéaire numérique, Allaire (utilisée dans 16 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 311 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 400 versions au total)
Methodes numériques pour le calcul scientifique , Quarteroni (utilisée dans 4 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni (utilisée dans 19 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)