Description géométrique des normes

Une version sans l'application proposée ci-dessus mais qui remplit largement les 15 min.
Pour les recasages, ce développement rentre peut-être aussi dans :
181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
et 206 : Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
Peut-être un peu tiré par les cheveux.

Oraux X-Ens Analyse 3, page 8

Inégalités de Kolmogorov

Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités (Rombaldi) page 330

Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein

X-ENS Analyse 2 page 125.

Il faut savoir ce qui se passe sur ]a;b[ et sur un intervalle I non borné.

On peut trouver un prolongement à ce développement dans le Gourdon Analyse page 231: à quelle condition les polynômes de la suite convergeant vers la fonction continue f sont-ils à coefficients entiers? (réponse: il faut et il suffit que f(0) et f(1) soient des entiers)

Application classique: que dire d'une fonction f continue sur [0;1] telle que pour tout entier n, l'intégrale sur [0;1] de t^n*f(t) est nulle ? (réponse: f est identiquement nulle)

Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Il faut savoir démontrer l'expression de la norme subordonnée à la norme infinie d'une matrice A:
|||A|||∞=max1≤i≤n (∑1≤j≤n ∣Aij∣)

Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Méta plan (simple mais qui a bien marché):

I) Notion d'échelonnement: matrices élémentaires (transvection, permutation, dilatation), matrices échelonnées et comment les obtenir grâce aux matrices élémentaires (cet algorithme est appelé le pivot de Gauss), application aux systèmes linéaires (définition, rang, système de Cramer, ensemble de solutions, exemple de résolution). Problème de la formule de Cramer: le nombre d'opérations en n!. D'où le besoin d'autres méthodes:
[Ref: tout livre de MPSI/L1, j'ai utilisé le R. Mansuy MPSI chez Vuibert]

II) Méthodes directes de résolution
Pivot de Gauss (échelonnement en lignes) avec ou sans changement de pivot (différences et conséquences numériques), décomposition LU et complexité (DEV 1)
[Ref: Dumas et Caldero/Peronnier]

III) Méthodes itératives de résolution
Définition d'une méthode itérative, définition des méthodes de splitting (A=M-N), condition nécessaire et suffisante de convergence de ces méthodes (DEV 2), exemples (Jacobi, Gauss-Seidel)
[Ref: Dumas et Ciarlet]