Développement : Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein

Détails/Enoncé :

On démontre d'abord le théorème de Berstein: Toute fonction continue sur l'intervalle $[0,1]$ est limite uniforme de sa suite de polynômes de Bernstein.

On en déduit le théorème de Weierstrass.

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    X-ENS Analyse 2 page 125.

    Il faut savoir ce qui se passe sur ]a;b[ et sur un intervalle I non borné.

    On peut trouver un prolongement à ce développement dans le Gourdon Analyse page 231: à quelle condition les polynômes de la suite convergeant vers la fonction continue f sont-ils à coefficients entiers? (réponse: il faut et il suffit que f(0) et f(1) soient des entiers)

    Application classique: que dire d'une fonction f continue sur [0;1] telle que pour tout entier n, l'intégrale sur [0;1] de t^n*f(t) est nulle ? (réponse: f est identiquement nulle)
  • Référence :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 549 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 206 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 47 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 59 versions au total)