Leçon 209 * : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

(2019) 209

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 209 - Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.) Pour la session 2020, le titre de cette leçon évolue en $\\$ "Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications." $\\$ Ce nouvel intitulé ouvre le sujet et permet de mettre en lumière des points de vue de natures différentes, avec des points d’accès de niveaux aussi variés. Bien entendu l’approximation polynomiale ou par polynômes trigonométriques reste un des thèmes centraux de cette leçon et un certain nombre de classiques trouveront à s’exprimer, comme par exemple l’approximation par les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémentée d’une estimation de la vitesse de convergence(en termes de module de continuité). $\\$ Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes mais on veillera à ne pas trop s’attarder sur ce point. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés à condition de maîtriser la différence fondamentale entre interpolation et approximation. L’approximation d’une fonction par des fonctions de classe $C^{\infty}$ par convolution est une technique qui s’intègre parfaitement dans ce nouvel intitulé et qui doit être illustrée d’applications (approximation de fonctions indicatrices, obtention, par densité, d’inégalités ou de résultats asymptotiques, résolution de l’équation de la chaleur,...) $\\$ Dans la même veine, pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(\partial \mathcal{D})$) offre la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$,...). La convolution avec d’autres noyaux (Dirichlet, Jackson) est aussi une source de résultats intéressants.

(2017 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.) Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme par exemple les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémentés d’une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité). Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés en mettant en évidence les problèmes qu’ils engendrent du point de vue de l’approximation. La résolution de l’équation de la chaleur et/ou des ondes peut trouver sa place dans cette leçon. Pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(T)$) offre aussi la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$, ...), mais on peut aussi s’intéresser à la convolution avec d’autres noyaux.
(2016 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.) Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme par exemple les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémenté d’une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité). Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés en mettant en évidence les problèmes qu’ils engendrent du point de vue de l’approximation. Pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(T)$) offre aussi la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$ , . . .), mais on peut aussi s’intéresser à la convolution avec d’autres noyaux.
(2015 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.) Cette leçon comporte un certain nombre de classiques. Les polynômes d'interpolation de Lagrange, les polynômes de Bernstein sont des classiques tout comme le théorème général de Stone-Weierstrass. En ce qui concerne le théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein, un candidat plus ambitieux pourra donner une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité), et éventuellement en montrer l'optimalité. Il n'est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d'une fonction par des polynômes. Comme la leçon 202, elle permet aux candidats plus ambitieux d'aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier.
(2014 : 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.) Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme le théorème de Stone-Weierstrass. Comme la leçon 202, elle permet d'explorer aux candidats plus ambitieux d'aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier.

Plans/remarques :

2020 : Leçon 209 - Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 209 - Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.


2018 : Leçon 209 - Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.


2017 : Leçon 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.


2016 : Leçon 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2020 : Leçon 209 - Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    233 : Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein [no pdf]

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai oublié de justifier un calcul de mon développement, un des membres du jury me demande alors d'essayer de le retrouver d'une autre manière que celle annoncée, il m'a fallu du temps pour voir où il voulait en venir.
    (Avec les notations du Gourdon: il fallait exprimer $\frac{\partial^2 F(a,b)}{\partial a^2}(x,x)$ à l'aide de $B_n(x)$ et $B_n(x^2)$)
    On me demande ensuite comment en déduire Weierstrass, je donne la réponse sans problème (on paramétrise l'intervalle à l'aide de l'intervalle $[0,1]$).
    On me demande si le résultat est encore vrai sur $\mathbf{R}$, je répond que mon intuition me dit non mais que je n'ai pas de contre-exemple (mais je dis que le problème risque d'être en l'infini puisque la limite en l'infini le module d'un polynôme tends vers l'infini).
    On me suggère d'utiliser le critère de Cauchy uniforme, je dis donc que si une suite de polynôme converge uniformément sur $\mathbf{R}$ à partir d'un certain rang tous les polynômes sont de même degré, et même (il m'a fallu de l'aide pour le voir) que les polynômes ne diffèrent que d'une constante $c_n$.
    On me demande alors de conclure et... je n'y arrive pas (alors que, en y regardant après, c'est tout bête).

    On commence ensuite un exercice.
    On me demande de tracer la fonction $f$, $2\pi$-periodique défini sur $]0,2\pi [$ par $t \longmapsto \pi - t$ et qui vaut $0$ en $0$.
    On me demande de donner, sans calcul, un des coefficient de sa série de Fourier, je donne $c_0(f)=0$. On me dit que c'est vrai et on me fait remarquer que dans mon plan je l'ai présenté en utilisant (sans le dire) les $a_n$ et les $b_n$, c'était donc ce qui était attendu. On me dit également que les $a_n(f)$ valent $0$, je le justifie en disant que c'est parce-que $f$ est impaire.
    On me demande ensuite si je connais un critère de convergence de la série de Fourier, évidemment je donne Fejer en rigolant un peu tout en mentionnant que ca ne s'appliquera pas ici. Je parle ensuite de Dirichlet, je dis que la fonction doit être continue par morceaux, on me demande si c'est le cas, je dis que non, on me demande la définition, je la donne et je me corrige, et je parle d'une espèce de condition sur le taux d'accroissement que je n'arrive pas à retrouver, et on ne me laisse pas vraiment le temps de le faire.
    On me demande alors d'estimer la vitesse de convergence de la série de Fourier de $f$ vers $f$, j'ouvre grand les yeux en me demandant pourquoi poser une question pareil puis on me suggère de donner la norme de $f$. Je mentionne Parseval qu'on me demande d'écrire, j'y arrive péniblement et après quelques corrections du jury.
    On me demande ensuite d'exprimer les coefficients $c_n(f')$ en fonctions des $c_n(f)$, je dis ne plus me souvenir de la formule mais que je peux la retrouver par IPP, IPP dans laquelle évidemment je fais une erreur, on en reste là pour cet exercice.

    Pour finir on revient sur mon plan, j'y présentais le théorème donnant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit développable en séries entières au voisinage d'un point, on me demande si je peux en déduire une condition suffisante, je dis ne pas en connaître une mais que cela doit pouvoir se retrouver avec la formule de Taylor avec reste intégrale ou Taylor-Lagrange, avec une majoration. On me dit que c'est quelque chose comme ça et l'oral se termine là dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    L'un des membres du jury avait l'air agacé par le temps que je mettais à répondre. Pour que je puisse répondre, ce membre me parlait très régulièrement pour me donner des indications ou pour redonner le cadre du problème / ce qui avait déjà été fait, ce qui avait pour effet paradoxale de m'empêcher de réfléchir (mais je suis sûr que ça partait d'une bonne intention).

    Les autres membres du jury était bienveillant. L'un d'entre eux prenait le temps de m'encourager à écrire au tableau et à creuser les pistes que j'évoquais.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je suis arrivé très stressé dans la salle et cela a impacté mon oral: quelques cafouillages pendant la défense de plan et surtout une séance de questions bien plus laborieuse qu'elle n'aurait dû être.
    Mon erreur a été, je pense, de ne pas profiter du temps entre la préparation et l'oral pour me détendre mais d'avoir voulu profiter de ce temps pour préparer ma défense de plan et réviser mes développements.

    À posteriori, je me rends également compte qu'il fallait que je prenne le temps de faire quelques révisions sur les séries de Fourier pendant ma préparation.

  • Note obtenue :

    8.25


2019 : Leçon 209 - Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Équation de la chaleur sur le cercle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Question sur le développement :

    Que peut-on dire du comportement de la solution en temps infini? On note f la température initiale. On montre que l'unique solution obtenue u(t,x) converge uniformément pour x dans [0,2pi] vers c_0(f) (la moyenne de f sur la barre) lorsque t tend vers l'infini.

    Questions, exercices :

    — Soit f ∈ C∞(R) telle qu’il existe un polynôme P de degré impaire vérifiant pour tout entier m et tout réel x : |f(m)(x)|≤|P(x)|. Que peut-on dire de f ? Réflex : P possède une racine x0. On obtient f(m)(x0)=0 pour tout m. Soit x réel. La formule de Taylor reste intégral à l’ordre m entre x0 et x permet d'avoir la majoration |f(x)|≤ |x−x0|^(m+1) / m! ||P||∞ qui converge vers 0 lorsque m tend vers l'infini. Conclusion : f est nulle.
    — Soit f ∈ C1([0,1]). Peut-on trouver une suite de polynômes (Pn) telle que Pn → f et Pn' → f' uniformément sur [0,1] ? J’ai proposé des pistes qui n’aboutissaient pas. Le jury m’a beaucoup aidé. Il suffisait de considérer (Qn) suite de polynômes convergeant vers f' uniformément sur [0,1]. Puis d’introduire Pn la primitive de Qn valant f(0) en 0, de sorte que Pn' = Qn est un polynôme. Et, par convergence uniforme de (Qn) vers f', on a effectivement Pn → f uniformément.
    — Expliquez-nous le théorème de Chudnovsky pour [a,b] ne contenant pas d’entier. Le jury est sympa. Pour me racheter, il me demande un théorème de mon plan. C’est mon troisième développement pour cette leçon. Je leur explique la preuve que l’on trouve dans le FGN Analyse 2.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury bienveillant. Il faut absolument entretenir un dialogue entre vous et le jury. Même si vous bloquez, n'hésitez pas à lui proposer des pistes de réflexions, il vous guidera ensuite.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Préparation :

    Pendant la préparation, je commence par réécrire mes développements (environ 45 min). Cela me permet de mettre ensuite dans mon plan les propriétés importantes intervenants dans les deux preuves. Il est préférable d’assurer 15 min de sa présentation que de vouloir rajouter une nième propriété que le jury ne lira sans doute pas. Ensuite, j’écris et j’apprends les preuves de mon plan pendant 2h. Puis il me reste un peu moins de 10 min pour relire mes développements, le temps qu’ils fassent les photocopies. Pour la défense du plan, je rédige les deux premières phrases qui me permettront de me lancer devant le jury. Je termine d’y réfléchir entre la salle de préparation et la salle de passage.

    Passage :

    Lors de la défense du plan, mettez-y du cœur et utilisez le tableau. J'ai l'impression que c'est très apprécié.
    Développement réalisé en 15 min pile sur un grand tableau à craie. Quand on a bien répété nos dev il n'y a pas de surprise à avoir, notamment sur les questions. Si vous choisissez tel ou tel dev, aucun doute ne doit transparaître lors de la présentation. Pendant l'année, faites les questions / exercices associés à vos dev.
    Dans mon plan j'ai parlé d'analyse complexe et du théorème de Runge et aussi (bien sur) de série de Fourier, de polynômes trigonométrique ... Aucune questions sur ces sujets. Le jury a préféré rester sur une approximation polynomiale sur des segments de R. Que ce soit sur les questions ou les exercices, on est resté sur du basique.

  • Note obtenue :

    17.25


2018 : Leçon 209 - Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    250 : Transformation de Fourier. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Fejer

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Juste après mon développement, j'ai eu droit aux questions suivantes :

    -Pourquoi t --> ||tau_{t}f - f|| est continue ? Réponse : par densité de C_2pi dans L1_2pi
    -Que pouvez-vous dire de deux fonctions qui ont les mêmes coefficients de Fourier ? Réponse : Elles sont égales presque partout par injectivité du Fourier
    -Montrez l'injectivité du Fourier. Réponse : On utilise Féjer.

    Ensuite un exercice : Soit f dans C2pi, on considère I= { f convolée avec g, g dans C2pi}. Montrez que I est dense dans C2pi.
    Réponse : Il faut utiliser les coefficients de Fourier, et on trouve qu'une condition pour que ce soit dense c'est que les coefficients de Fourier de f ne soit jamais nuls.
    Ils m'ont demandé un exemple de fonction dont les coefficients ne sont jamais nuls mais je n'ai pas trouvé.

    Ensuite un autre exercice: On prend la somme de n=1...N de f(x+n\alpha). Avec \alpha irrationnel et f dans C2pi. Montrez que ca converge vers l'intégrale de f quand N tend vers l'infini. Il faut prendre une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f et montrer l'hypothèse avec un polynome trigo. Ensuite, il faut passer à la limite.

    Et ça c'est terminé sur ça.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très désagréable, cassant et agressifs. Il y avait deux monsieurs qui me posaient des questions sans arrêt et ne me laissaient jamais réfléchir et une femme muette

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    14


2016 : Leçon 209 - Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    209 : Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    232 : Méthodes d'approximation des solutions d'une équation $F(X) = 0$. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Équation de la chaleur sur le cercle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur mon développement,
    des exercices de convergence dominée et de dérivation sous l'intégrale sur lesquelles j'ai buggué comme un gros nul
    Déroutant, d'autant plus que j'avais bien préparé cette leçon et mis des exemples originaux sur lesquels je voulais être questionné.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bizarre. Beaucoup de questions de bases.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas content ... J'ai donné mauvaise impression au début et j'ai jamais vraiment eu le temps de remonter.

  • Note obtenue :

    9.25