Développement : Fonction continue 2Pi-périodique dont la série de Fourier diverge en 0

Détails/Enoncé :

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction paire, $2\pi$-périodique telle que pour tout $x \in [0, \pi]$ on ait

$$ f(x) = \sum_{p \ge 1} \frac{1}{p^2} \sin( (2^{p^3} + 1) x/2 ) $$

On montre que série de de Fourier de $f$ diverge en $0$.

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(2023) 209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
(2022) 241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
(2022) 246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
(2022) 209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
(2021) 241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
(2021) 246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
(2021) 209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
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(2018) 241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
(2018) 246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
(2018) 209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
(2017) 241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
(2017) 246 : Séries de Fouriers. Exemples et applications.
(2017) 209 : Approximation d'une fonction par des polynômes et et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
(2016) 241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
(2016) 246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
(2016) 209 : Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
(2015) 241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
(2015) 246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
(2015) 209 : Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
(2014) 241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
(2014) 246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
(2014) 209 : Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

Versions :

Version de Mathieu Dutour

Auteur :
Mathieu Dutour
Remarque :
Ce développement fournit un exemple de fonction continue et $2 \pi$-périodique dont la série de Fourier diverge en $0$; L'existence de telles fonctions peut aussi être prouvée (de manière non constructive) en utilisant Banach-Steinhaus.
Référence :
- Analyse , Gourdon
Fichier :
- 09 - Fonction continue périodique dont la série de Fourier diverge en 0.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 549 versions au total)