Développement : Equation de la chaleur dans une barre

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Recasages pour l'année 2024 :

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    Énoncé : Soit $f\in\mathcal{C}^1\left([0,\pi],\mathbb{R}\right)$ telle que $f(0)=f(\pi)=0$. Notons $K_f$ l'ensemble des éléments
    $$u\;:\:\begin{cases} [0,\pi] \times \mathbb{R}_{+} \longrightarrow \mathbb{R}, \\
    (x,t)\longmapsto u(x,t).
    \end{cases}$$
    de $\mathcal{C}\left([0,\pi] \times \mathbb{R}_+\right)$ qui vérifient :

    1.i. $\partial_x u$ et $\partial_t u$ existent et sont continues sur $[0,\pi] \times \mathbb{R}_+^*$,
    ii. $\partial^2_{x^2} u$ existe et est continue sur $[0,\pi] \times \mathbb{R}_+^*$,
    iii. pour tout réel $t\ge 0$, $u(0,t)=u(\pi,t)=0$,
    iv. pour tout $ (x,t)\in [0,\pi] \times\mathbb{R}_+^*$, $\partial_t u(x,t)=\partial^2_{x^2} u(x,t)$\,;

    2. Pour tout $ x\in[0,\pi]$, $u(x,0)=f(x)$.
    Alors $K_f$ est un singleton.

    Nous donnerons de plus l'expression de l'unique élément de $K_f$ sous forme de la somme d'une série d'applications.
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    D'après moi pour les leçons : 209, 222, 241 et 246.

    Ma référence est le livre de M. Zuily et Queffélec, mais bien prendre une barre de longueur $\pi$ et pas L, c'est vraiment beaucoup trop pénible sinon et on perd beaucoup de temps.

    Développement très long et difficile à faire tenir en 15 mins et qui demande quelques répétitions. Admettre dans tous les cas le 2)b/ du document (dire à l'oral que ça ne marche pas).

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 144 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 206 versions au total)