Leçon 222 * : Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.

(2018) 222

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.) Cette leçon peut être abordée en faisant appel à des techniques variées et de nombreux développements pertinents peuvent être construits en exploitant judicieusement les éléments les plus classiques du programme. Le candidat ne doit pas hésiter à donner des exemples très simples (par exemple les équations de transport). Les techniques d’équations différentielles s’expriment par exemple pour traiter $\lambda u - u'' =f $ avec des conditions de Dirichlet en $x=0$, $x=1$ ou pour analyser l’équation de transport par la méthode des caractéristiques. Les séries de Fourier trouvent dans cette leçon une mise en pratique toute désignée pour résoudre l’équation de la chaleur dans différents contextes, l’équation des ondes ou de Schrödinger dans le cadre des fonctions périodiques. Des raisonnements exploitant la transformée de Fourier peuvent également être présentés. Le point de vue de l’approximation numérique donne lieu à des développements originaux, notamment autour de la matrice du laplacien et de l’analyse de convergence de la méthode des différences finies. Des développements plus sophistiqués se placeront sur le terrain de l’analyse hilbertienne avec le théorème de Lax-Milgram, l’espace de Sobolev $H_0^1(]0,1[)$, jusqu’à la décomposition spectrale des opérateurs compacts, ou encore sur celui des distributions avec, par exemple, l’étude des solutions élémentaires du laplacien.

(2016 : 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires. ) Cette leçon peut être abordée en faisant appel à des techniques variées et de nombreux développements pertinents peuvent être construits en exploitant judicieusement les éléments les plus classiques du programme. Le candidat ne doit pas hésiter à donner des exemples très simples (par exemple les équations de transport). Les techniques d’équations différentielles s’expriment par exemple pour traiter $\lambda u - u'' = f$ avec des conditions de Dirichlet en $x =0$, $x=1$ ou pour analyser l’équation de transport par la méthode des caractéristiques. Les séries de Fourier trouvent dans cette leçon une mise en pratique toute désignée pour résoudre l’équation de la chaleur, de Schrödinger ou des ondes dans le contexte des fonctions périodiques. La transformée de Fourier, notamment sur l’espace de Schwartz, peut être considérée. Le point de vue de l’approximation numérique donne lieu à des développements originaux, notamment autour de la matrice du laplacien et de l’analyse de convergence de la méthode des différences finies. Des développements plus sophistiqués se placeront sur le terrain de l’analyse hilbertienne avec le théorème de Lax-Milgram, l’espace de Sobolev $H_0^1(]0,1[]$, jusqu’à la décomposition spectrale des opérateurs compacts, ou encore sur celui des distributions avec l’étude de solutions élémentaires d’équations elliptiques.
(2015 : 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.) Cette nouvelle leçon peut être abordée en faisant appel à des techniques variées et de nombreux développements pertinents peuvent être construits en exploitant judicieusement les éléments les plus classiques du programme. Le candidat ne doit pas hésiter à donner des exemples très simples (par exemple les équations de transport). Les techniques d'équations différentielles s'expriment par exemple pour traiter $\lambda u - u'' = f$ avec des conditions de Dirichlet en $x = 0$, $x =1$ ou pour analyser l'équation de transport par la méthode des caractéristiques. Les séries de Fourier trouvent dans cette leçon une mise en pratique toute désignée pour résoudre l'équation de la chaleur, de Schrödinger ou des ondes dans le contexte des fonctions périodiques. La transformée de Fourier permet ceci dans le cadre des fonctions sur $\mathbb{R}^d$. Le point de vue de l'approximation numérique donne lieu à des développements originaux, notamment autour de la matrice du laplacien et de l'analyse de convergence de la méthode des différences finies. Des développements plus sophistiqués se placeront sur le terrain de l'analyse hilbertienne avec le théorème de Lax-Milgram, l'espace de Sobolev $H_0^1(]0,1[)$ , jusqu'à la décomposition spectrale des opérateurs compacts, ou encore sur celui des distributions avec l'étude de solutions élémentaires d'équations elliptiques.
(2014 : 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.) Cette nouvelle leçon peut être abordée en faisant appel à des techniques variées et de nombreux développements pertinents peuvent être construits en exploitant judicieusement les éléments les plus classiques du programme. Les techniques d'équations différentielles s'expriment par exemple pour traiter $\lambda u - u''$ avec des conditions de Dirichlet en $x = 0, x = 1$ ou pour analyser l'équation de transport par la méthode des caractéristiques. Les séries de Fourier trouvent dans cette leçon une mise en pratique toute désignée pour résoudre l'équation de la chaleur, de Schrödinger ou des ondes dans le contexte des fonctions périodiques. La transformée de Fourier permet ceci dans le cadre des fonctions sur $R^d$. Le point de vue de l'approximation numérique donne lieu à des développements originaux, notamment autour de la matrice du laplacien et de l'analyse de convergence de la méthode des différences finies. Des développements plus sophistiqués se placeront sur le terrain de l'analyse hilbertienne avec le théorème de Lax-Milgram, l'espace de Sobolev $H_0^1(]0,1[)$, jusqu'à la décomposition spectrale des opérateurs compacts, ou encore sur celui des distributions avec l'étude de solutions élémentaires d'équations elliptiques.

Plans/remarques :

2016 : Leçon 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.


Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.