Développement : Solution de l'équation des ondes par moyennes sphériques

Détails/Enoncé :

On considère l'équation des ondes avec conditions initiales $f,g\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^3)$:
\begin{equation}
\label{wave2}
\begin{cases}
\partial_{t}^{2} u-\Delta u=0\\
u(0,x)=f(x)\\
\partial_t u(0,x)=g(x)
\end{cases}
\end{equation}
Soit $u\in\mathcal{C}^{3}(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^3,\mathbb{R})$, vérifiant cette équation, alors:
\[u(t,x)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{4\pi t}\int\limits_{S_t(x)} f(y)dS(y)\right)+\frac{1}{4\pi t}\int\limits_{S_t(x)} g(y)dS(y)\]

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Partial differential equations, Evans (utilisée dans 2 versions au total)