Leçon 236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

(2023) 236

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.) Cette leçon doit être très riche en exemples, que ce soit l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}dt$ ou bien d’autres encore. Il est tout à fait pertinent de commencer par les différentes techniques élémentaires (intégration par parties, changement de variables, décomposition en éléments simples, intégrale à paramètres,...). Trop de candidats manquent d’aisance avec le calcul d’intégrales multiples. Le calcul de l’intégrale d’une gaussienne sur $\textbf{R}^n$ ou le calcul du volume de la boule unité de $\textbf{R}^n$ ne devraient pas poser de problèmes insurmontables. Le programme du concours indique que la formule d’intégration par parties multi-dimensionnelle qui relie intégrale de volume et intégrale de surface est admise ; il ne faut pas hésiter à l’exploiter et à l’illustrer par des exemples. On peut également présenter des utilisations du théorème des résidus. $\\$ On peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion deFourierou du théorème dePlancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales. $\\$ Enfin, il est tout à fait pertinent d’évoquer les méthodes de calcul approché d’intégrales (méthodes des rectangles, méthode de Monte-Carlo, etc.), une piste qui mériterait d’être davantage explorée.

(2017 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonction d'une ou plusieurs variables.) Cette leçon doit être très riche en exemples, que ce soit l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$ ou bien d’autres encore. Il est tout à fait pertinent de commencer par les différentes techniques élémentaires (intégration par parties, changement de variables, décomposition en éléments simples, intégrale à paramètres,...). On peut également présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples comme le calcul de l’intégrale d’une gaussienne. Le calcul du volume de la boule unité de $R^n$ ne doit pas poser de problèmes insurmontables. Le calcul de la transformation de Fourier d’une gaussienne a sa place dans cette leçon. On peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales. Enfin, il est aussi possible d’évoquer les méthodes de calcul approché d’intégrales (méthodes des rectangles, méthode de Monte-Carlo, etc.).
(2016 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.) Cette leçon doit être très riche en exemples simples, comme l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$. Il est souhaitable de présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples comme le calcul de l’intégrale d’une gaussienne. Le calcul du volume de la boule unité de $R^n$ ne doit pas poser de problèmes insurmontables. Le calcul de la transformation de Fourier d’une gaussienne a sa place dans cette leçon. On peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales.
(2015 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.) Dans cette leçon, il est souhaitable de présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples. On peut aussi penser à l'utilisation du théorème d'inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Le calcul du volume de la boule unité de $\mathbb{R}^n$ ne devrait pas poser de problèmes insurmontables.

Développements :

Plans/remarques :

2023 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.


2020 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.


2018 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.


2017 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonction d'une ou plusieurs variables.


2016 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Transformée de Fourier par les résidus

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai commencé ma leçon avec des schémas numériques de calcul d'intégrales en insistant sur leur aspect historique et pratique. J'ai ensuite présenté les différentes méthodes utilisant des primitives puis les IPP et changement de variables. Dans une troisième partie, j'ai repris ces résultats en dimensions supérieures, en ajoutant les théorème de Fubini-Tonelli et de Fubini et la coaire puis mon premier développement. Enfin, j'ai parlé d'utilisation de l'analyse complexe et de son application à mon second développement. Globalement, je suis pas allée chercher très compliqué, il y a juste la formule de la coaire qui était la petite cerise sur le gâteau, et dont j'ai expliqué vite fait le principe lors de la présentation.

    J'ai déroulé mon développement, il est pas très compliqué, j'ai bien pris le temps d'expliquer ce qu'il se passait, en faisant de dessins.

    les question du jury sur le développement :

    - application du développement à la fonction $f:t\mapsto \frac 1{1+t^2}$
    - montrer que $\int_0^\pi \sin = 2\int_0^{\pi/2} \sin $
    - le résultat est-il encore valable si on a un élément de $\mathbb L^2$?

    les question du jury :

    - comment fait-on pour la transformée de Fourier dans $\mathbb L^2$? (j'ai répondu comment on faisait théoriquement) Et en pratique? (j'ai pas su répondre)
    - montrer que $\mathcal F (\chi_{[-1,1]}) = \frac {\sin t}t$. En déduire $\int_0^{+\infty} \frac {\sin t}t dt$ et $\int_0^{+\infty} \frac {\sin t}t \frac {\sin 2t}{2t} dt$
    - comment retrouver $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt \pi$? La gaussienne apparaît dans quelle loi en proba?
    - si $f:[-1,1] \to \mathbb R$ vérifie les hypothèses que l'on veut, quel contrôle a-t-on sur

    \[\frac 1 n \sum_{k=0}^n f \left( \frac k n \right) -\int_0^1 f \]

    - comparer $\exp(\int_0^1 f)$ et $\int_0^1 \exp(f)$
    - soit $a>0$, exprimer $\int_0^1 \frac 1{1+t^a} dt$ en une série qui converge (j'ai pas eu le temps de finir)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympathique. La probabiliste était ravie que je prononce les mots "loi normale" et "Jensen"

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Juste un petit coup de stress pendant la préparation en ouvrant le Schwartz, vu qu'il n'a ni index ni sommaire.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Formule d'inversion de Fourier dans L1

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pour les questions qu'on m'a posé :

    - Pourquoi vous avez unicité de la solution pour $y' = -\frac{t}{\sigma^2} y$ ? Il fallait prononcer Cauchy-Lipschitz.

    - Pourquoi $(g_\sigma)_\sigma$ forme une suite d'approximation de l'unité ? J'avais dit pendant la présentation, car $g_\sigma =\frac{1}{\sigma}g_1(\frac{\cdot}{\sigma})$ et $g_1$ est positive, d'intégrale $1$. Je réponds donc en donnant la définition d'approximation de l'unité et en vérifiant que ce procédé donne des approximations.

    - On passe au plan: démontrer le théorème de changement de variable en dimension $1$ ? Je réécris l'énoncé, me trompe dans mes notations, galère, et m'en sors avec leur aide en remarquant que si $F$ est primitive de $f$ alors $(F\circ\phi)' = \phi' \cdot (F\circ \phi) $. Je me sens con.

    - On passe aux exos. Soit $T$ le triangle parcourant (dans ce sens) $0$ puis $A$, puis $A(1+i)$. On me demande combien vaut
    $$ \int _{\partial T}\exp(-z^2)\mathrm{d} z. $$ Je réponds que c'est zéro via le théorème de Cauchy. On me demande de l'appliquer dans ce cas et de voir lorsque $A \to +\infty $. J'écris bien Cauchy puis essaie une CVD pour montrer qu'un terme tend vers $0$, je galère, puis finalement on me dit qu'il fallait majorer plus finement (du genre pour $u \in [0,1]$, majorer $u^2$ par $u$ plutôt que $1$, sous l'intégrale). On finit pas le calcul, pour faire autre chose.

    - Second exo: soit $P_n (t) = \sum_{k=0}^n \frac{\cos(k t)}{2^k}$. On demande de calculer
    $$ \lim_{n \to+\infty}\int_{-\pi}^\pi |P_n (t)|^2 \mathrm{d} t. $$
    Je calcule tranquillos, sans même me planter sur la formule de $\cos(a)\cos(b)$ (qui est?...) et je conclus. Là on me demande si on pouvait s'y attendre. Je réponds vite que la convergence normale de la série $\sum_k \frac{\cos(k \cdot )}{2^k}$ m'aurait permis d'intervertir la limite et l'intégrale. On me répond que c'est vrai, mais que $|P_n|^2$ n'est pas une "série" de fonctions (il y a 2 indices pour la somme). Qu'est ce qu'on peut quand même dire ? Je réponds qu'il y a convergence uniforme. On me demande pourquoi $(P_n)_n$ cvu vers $P$ implique $(|P_n|^2)_n$ cvu vers $|P|^2 $ ? Je réponds qu'en factorisant par $|P_n-P|$ il suffit d'avoir une bornitude de $|P_n+P|$ uniforme, qui est ici vérifiée ici (on majore par $4$). Ca leur suffit. On me redemande si on pouvait s'attendre au résultat. Je dis que c'est l'égalité de Parseval, et on me demande de l'énoncer (en m'accordant la constante). On s'arrête là.

    En conclusion: peut mieux faire. Ca m'aurait mis en confiance de répondre à des questions sur mon plan. Malgré tout, le jury était globalement très sympathique donc je me dis qu'ils savaient ce qu'ils faisaient. _Rétrospectivement j'avais raison puisque j'ai eu la note de 19. Je pense que le jury a senti que le début de mon oral était un peu chaotique mais que j'ai pu rattraper un peu de confiance dans la seconde moitié._

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    19


2022 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    222 : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Intégrale de Dirichlet

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Rappelez la définition de l'intégrale complexe sur un chemin
    - Vous avez parlé de Fourier-Plancherel dans votre plan : pourquoi ? quel est le problème avec la TF $L^1$ ?
    - Connaissez vous un ensemble de fonctions "simples" pour lesquelles l'inversion de Fourier $L^1$ s'applique ?
    - Soit $f$ intégrable sur $\mathbb{R}$ de classe $C^1$ telle que $f'$ soit aussi intégrable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ admet pour limite $0$ en $\pm \infty$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    jury très sympathique qui met en confiance, malgré le fait que je n'ai pas eu le temps de tout à fait finir mon développement.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    C'était mon premier oral : le stress et la fatigue m'ont ralenti pour mon développement (un peu calculatoire) ce qui fait que je n'ai pas pu finir complètement. Heureusement le jury sait mettre en confiance de sorte que j'ai pu répondre normalement aux questions.

  • Note obtenue :

    16.75


2016 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement :
    Ils m'ont fait corriger les quelques erreurs que j'avais écrites.
    Détailler Fubini, préciser la définition du produit de convolution, pourquoi a-t-on convergence dans $L^p$ de $f*h_n$ vers $f$ (avec $h_n$ approximation de l’unité), puis pourquoi a-t-on la continuité de l’opérateur de translation (densité des $C_c$), enfin pourquoi si on converge dans $L^p$ on a une suite extraite qui converge pp.

    Le probabiliste se réveille :
    - Qu’est-ce que ce corollaire d’extraction dit au niveau des v.a.
    Je n’ai pas tout de suite très bien compris ce qu’il voulait me faire dire, il m’a demandé alors les implications des différents modes de cv de va et j’ai répondu.
    - Que peut-on dire en l’infini de la transformée de Fourier de $f$ ? Riemann Lebesgue.
    - Est-ce vrai pour la transformée de Fourier d’une mesure ? Non avec les Dirac
    - Quand est-ce vrai ? Là j’ai dit que je ne savais pas précisément, ça marche si on est absolument continue par rapport à Lebesgue (oui bon d’accord…) puis j’ai parlé du théorème de Lévy mais c’est pas vraiment ce qu’il attendait.
    Le probabiliste se rendort.

    Exercice : Calculer $\int_0^\infty \frac{1}{1+x^n}dx$
    J’ai dit qu’on pouvait utiliser des résidus (j’avais mis cette intégrale avec $n=4$ dans mon plan), puis ils m’ont fait chercher un contour, j’ai un peu galéré parce qu’on ne pouvait pas prendre le demi cercle supérieur comme je l’avais mis dans le plan, il fallait réduire en un domaine plus petit (type camembert) avec le bon angle, que j’ai galéré à trouver (alors que c’était juste $2 \pi /n$…).

    Exercice : le probabiliste se réveille à nouveau. On prend deux va normales centrées réduites indépendantes $X$ et $Y$, calculer la loi de $X/Y$. J’ai dit qu’il fallait calculer $E[f(X/Y)]$ pour $f$ borélienne positive quelconque, faire un changement de variables. Je me suis un peu embrouillé avec l’intégrale, je ne savais plus si j’intégrer sur $\mathbb R$ ou $\mathbb R^2$, bref c’était pas très joli à voir, surtout que j’ai fini par écrire le changement de variables en oubliant de déterminant du jacobien...le boss me dit alors « et c’est tout », et je réponds, genre j’y avais pensé, non il faut le déterminant du jacobien. Pas eu le temps de finir.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Trois profs : un boss, une dame, un probabiliste.
    Le boss menait la discussion, le probabiliste posait les questions de probas (eh oui !), la dame n'a rien dit.
    Jury très neutre.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Très stressé au début de l’oral (c’était mon premier), donc des erreurs sur le développement qu’ils m’ont fait corriger (il manquait une intégrale puis il y en avait une qui n’avait pas lieu d’être).
    3h c'est court !! J'ai été un peu pris par le temps, donc je n'ai pas eu le temps de relire mes développements...ce qui m'aurait éviter plusieurs erreurs.
    Suivez les conseils de Danthony !!!! J'ai eu toutes la ribambelle de questions sur des preuves de convolution, j'étais bien content de savoir y répondre avec les bons arguments dans l'ordre.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2015 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Résolution de y'' - y = H dans S'(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    quelques questions sur le plan et deux exos.

    - Une question sur le dev (le calcul de la transformée de $\delta_0$, je l'ai fait en le voyant comme une distrib - ça prend une ligne - et ils m'ont demandé de le faire "directement", par un calcul de transformée pour une mesure du coup)

    - Questions sur le plan : dans quels items du plan j'utilisais le théorème de changement de variable (j'explique vite fait le calcul de l'intégrale de la gaussienne notamment) ; pourquoi j'avais mentionné la marche aléatoire sur $\mathbb{Z}^d$ (c'était un exemple donné après l'intégration des $1 /||x||^{\alpha}$, je me suis embrouillé à pas trop savoir quoi dire et quoi survolé mais j'ai finalement justifié la présence du truc (on intègre des trucs de la forme $1/(1-cos(x))$) ; est-ce que j'avais un autre exemple de calcul des résidus en tête (hic, j'ai donné que mon dev 1 comme exemple, je savais pas où en chercher d'autre - ben j'en avais pas, c'est un peu con).

    - Exo 1 :

    $$
    I_n = \int_0^n (1-x/n)^n \ln(x) dx
    $$

    Donner la limite de $I_n$ (dire ce que c'est puis le montrer). En déduire la valeur de $\int_0^{\infty} \exp(-x) \ln(x) dx$.

    ---

    Que du bon calcul calculatoire de taupin. Le machin auquel on pense tend vers l'exponentielle et donc, incroyable, la limite de $I_n$ c'est l'autre intégrale.

    On commence par mettre une $\mathbb{1}_{[0,n]}$ pour que l'intégrale soit gérable, puis on fait de la CVD ; pour la domination, on peut passer par la concavité du log et hop. Pour calculer l'intégrale ensuite il va falloir une écriture explicite de $I_n$ : on change de variable pour virer les $x/n$, on découpe ce qu'il reste du log, ce qui fait poper un terme qui s'intègre directement et un autre qu'on peut calculer par IPP. On a arrêté l'exo une fois que j'avais amorcé l'IPP, on m'a vite fait demandé si je savais la limite de $\ln(n) - \sum_{k=1}^n 1/k$ qui intervient à la fin (houuuuu).

    - Exo 2 : on prend $A$ une matrice symétrique. Deviner quel exo on va bien pouvoir faire avec dans cette leçon.

    ---

    Bon, le vrai exo, c'était évidemment d'étudier $\int_{\mathbb{R}^n} \exp(-(Ax,x)) dx$, et de la calculer quand $A$ est $S_n^{++}$. Voilà, voilà...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Quelques indications quand je mongolisais, et jury qui aide notamment à ne pas écrire de choses fausses (ils m'ont corrigé immédiatement quelques erreurs type problème de signe / objets qui disparaissent mystérieusement d'une ligne sur l'autre / ...)

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    - C'est vraiment pas beaucoup trop heures fichtre ! J'avais une bonne idée de plan, quelques bons exemples mais il m'en manquait des basiques pour illustrer certaines notions et mon plan était un peu vide.

    - Je suis tombé sur JP Barani, un colleur de ma prépa (qui ne m'a pas reconnu) qui me terrifiait. Il s'est montré plutôt sympa, finalement.

    - Globalement, je m'attendais un peu à la douche (plan OK mais maigre, développements pas trop en confiance) mais ça s'est plutôt bien passé. Dommage pour les trop nombreuses erreurs de mongol.

  • Note obtenue :

    15