Leçon 236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Injectivité de la transformée de Fourier

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Je rentre, le jury me rappelle les consignes de l'épreuve puis me dit que je peux commencer dès que je le souhaite. Je souffle un coup et commence par la présentation de mon plan (qui tient exactement 6 minutes). Celui-ci tourne réellement autour des exemples, un théorème, une application directe par exemple du dit théorème. Les jurys se mettent d'accord pour partir sur l'injectivité de la transformée de Fourier (je me dis que je vais pouvoir y aller bien tranquillement étant donné que ce développement rentre largement). J'effectue mon développement, et même en ayant l'impression de prendre bien mon temps, le développement se termine en 13 minutes. Le jury n'a pas l'air d'avoir de problèmes avec ça, il passe au questions.

Questions liées au développement :
1) Pourquoi la fonction dans mon intégrante ($ x \mapsto e^{-bx^2} e^{itv} $) est mesurable
R: car elle est continue
2) J'ai utilisé le résultat suivant dans mon développement et qui fait partie de mon plan : Soit f dans $L^1(R)$ et $(\phi_j)_j$ une approximation de l'unité, alors $f * phi_j$ tend en norme 1 vers $f$. Donner les idées de la preuve de ce théorème.
R: On va utiliser toutes les hypothèse des approximations de l'unité, en séparant classiquement (un peu comme dans le théorème de Fejer) mais pour une des deux parties, celle qui ne relève pas du caractère approximation de l'unité, je bug, et je donne des idées à l'oral. Le jury me demande si je ne pourrais pas utilisé des résultats de densité. Je propose dès lors d'utilise les continues à support compact dans L1 + thm de convergence dominée. Le jury est ok, et passe à autre chose

Questions liés au plan :
1) Demande de détailler un exemple du plan qui utilise le corollaire permettant l'échange entre série et intégrale issue de Beppo-Levi. Ex suivant : $$ \int_0^1 \frac{ln(x)}{x-1} dx = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} $$
R: Voir Daniel Li, Intégration, exercice III.1 (page 124) - corrigé à la fin du Li

2) Donner un équivalent en $+\infty$ de : $$\int_0^{x} e^{t^2} dt$$
R: Question où j'ai eu du mal, le jury a du bien m'aider, , il fallait effectuait une IPP en écrivant 1 comme 2t / 2t, pour reconnaitre une dérivée de $e^{t^2}$, puis négligéait de 0 à 1 où l'intégrale de l'IPP n'était pas bien définit, et regardait dans l'IPP en terme de négligeabilité. Je ne me souviens plus de la réponse précise.

3) Soit $f : R^n \rightarrow [0;+\infty[$ mesurable et $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $R^n$. Montrer que : $$\int_{0}^{+\infty} \lambda(\{x, f(x) > t\}) dt = \int_{R^n} f(x) dx$$
R : Réécrire le membre de gauche, et utiliser le théorème de Fubini pour échanger.

4) En déduire le volume d'une hyperbole dans $R^n$ via la fonction $f: x \mapsto \exp(-||x||^2)$ où $||.||$ correspond à la norme euclidienne sur $R^n$
R: utiliser la question 3, avec $f$ et réécrire le tout, en terme de boules, on obtient une expression

5) Dans la question d'avant, via le calcul, le jury m'a demandé le lien entre B(0,r) et la boule unité.
R: B(0,r) = r*B(0,1)

6) Calculer sur $D=\{(x,y) \in R^2, \frac{x^2}{4} + y^2 \leq 1\}$ l'intégrale : $$ \int_{D} y^2 dx dx$$
R: Je ne savais trop par quoi commencer, j'ai dès lors proposer de réécrire cette intégrale sur R^2 via des indicatrices (un peu comme en proba), le jury m'a dit que ça devait marcher mais que ce n'est pas ici ce qu'il cherchait, et m'a demandé si je ne pouvais pas écrire cette intégrale comme intégrale sur le bord d'un contour... Je me suis demandé (via mes souvenirs de physique de prépa) si ça n'avait pas un lien avec les théorèmes de Green-Ostrogratski ce que j'ai proposé à l'oral, ils m'ont dit oui, et j'ai donc dis que je ne connaissais pas du tout le dit résultat. Ils m'ont dit pas de soucis et sont passés à autre chose.

7) Comment calculer $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$$ (on arrivait à la fin de l'oral, donc ils n'attendaient pas le résultat total mais les grandes étapes)
R: J'ai proposé de le faire via résidu, avec la fonction $z \mapsto \frac{\exp{iz}}{z}$ Ils me demandent de proposer un bon contour, et de détailler les paramètrisations et le raisonnement, ce que j'effectue, avec un demi cercle- relevé autour de 0 (un peu comme un demi cd).

On arrive dès lors à la fin de l'épreuve.

RMQ: 1 visiteur

Jury composé de deux hommes et une femme, ce jury était très souriant et aidant, me laissant réfléchir, mais n'hésitant pas à donner des conseils. La femme n'a presque rien dit de l'oral et est aller s'étiré au fond de la salle en plein milieu de mon développement (pas très sympa...). Le jury était dirigé par un des deux hommes, mais les deux posaient les questions. Bonne expérience

RAS, comme imaginé. Je suis sorti très confiant de cette oral, tout s'étant très bien passé, et ayant su répondre aux questions du jury !

17.25

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Transformée de Fourier par les résidus

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

J'ai commencé ma leçon avec des schémas numériques de calcul d'intégrales en insistant sur leur aspect historique et pratique. J'ai ensuite présenté les différentes méthodes utilisant des primitives puis les IPP et changement de variables. Dans une troisième partie, j'ai repris ces résultats en dimensions supérieures, en ajoutant les théorème de Fubini-Tonelli et de Fubini et la coaire puis mon premier développement. Enfin, j'ai parlé d'utilisation de l'analyse complexe et de son application à mon second développement. Globalement, je suis pas allée chercher très compliqué, il y a juste la formule de la coaire qui était la petite cerise sur le gâteau, et dont j'ai expliqué vite fait le principe lors de la présentation.

J'ai déroulé mon développement, il est pas très compliqué, j'ai bien pris le temps d'expliquer ce qu'il se passait, en faisant de dessins.

les question du jury sur le développement :

- application du développement à la fonction $f:t\mapsto \frac 1{1+t^2}$
- montrer que $\int_0^\pi \sin = 2\int_0^{\pi/2} \sin $
- le résultat est-il encore valable si on a un élément de $\mathbb L^2$?

les question du jury :

- comment fait-on pour la transformée de Fourier dans $\mathbb L^2$? (j'ai répondu comment on faisait théoriquement) Et en pratique? (j'ai pas su répondre)
- montrer que $\mathcal F (\chi_{[-1,1]}) = \frac {\sin t}t$. En déduire $\int_0^{+\infty} \frac {\sin t}t dt$ et $\int_0^{+\infty} \frac {\sin t}t \frac {\sin 2t}{2t} dt$
- comment retrouver $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt \pi$? La gaussienne apparaît dans quelle loi en proba?
- si $f:[-1,1] \to \mathbb R$ vérifie les hypothèses que l'on veut, quel contrôle a-t-on sur

\[\frac 1 n \sum_{k=0}^n f \left( \frac k n \right) -\int_0^1 f \]

- comparer $\exp(\int_0^1 f)$ et $\int_0^1 \exp(f)$
- soit $a>0$, exprimer $\int_0^1 \frac 1{1+t^a} dt$ en une série qui converge (j'ai pas eu le temps de finir)

Le jury était très sympathique. La probabiliste était ravie que je prononce les mots "loi normale" et "Jensen"

Juste un petit coup de stress pendant la préparation en ouvrant le Schwartz, vu qu'il n'a ni index ni sommaire.

18

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Formule d'inversion de Fourier dans L1

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Pour les questions qu'on m'a posé :

- Pourquoi vous avez unicité de la solution pour $y' = -\frac{t}{\sigma^2} y$ ? Il fallait prononcer Cauchy-Lipschitz.

- Pourquoi $(g_\sigma)_\sigma$ forme une suite d'approximation de l'unité ? J'avais dit pendant la présentation, car $g_\sigma =\frac{1}{\sigma}g_1(\frac{\cdot}{\sigma})$ et $g_1$ est positive, d'intégrale $1$. Je réponds donc en donnant la définition d'approximation de l'unité et en vérifiant que ce procédé donne des approximations.

- On passe au plan: démontrer le théorème de changement de variable en dimension $1$ ? Je réécris l'énoncé, me trompe dans mes notations, galère, et m'en sors avec leur aide en remarquant que si $F$ est primitive de $f$ alors $(F\circ\phi)' = \phi' \cdot (F\circ \phi) $. Je me sens con.

- On passe aux exos. Soit $T$ le triangle parcourant (dans ce sens) $0$ puis $A$, puis $A(1+i)$. On me demande combien vaut
$$ \int _{\partial T}\exp(-z^2)\mathrm{d} z. $$ Je réponds que c'est zéro via le théorème de Cauchy. On me demande de l'appliquer dans ce cas et de voir lorsque $A \to +\infty $. J'écris bien Cauchy puis essaie une CVD pour montrer qu'un terme tend vers $0$, je galère, puis finalement on me dit qu'il fallait majorer plus finement (du genre pour $u \in [0,1]$, majorer $u^2$ par $u$ plutôt que $1$, sous l'intégrale). On finit pas le calcul, pour faire autre chose.

- Second exo: soit $P_n (t) = \sum_{k=0}^n \frac{\cos(k t)}{2^k}$. On demande de calculer
$$ \lim_{n \to+\infty}\int_{-\pi}^\pi |P_n (t)|^2 \mathrm{d} t. $$
Je calcule tranquillos, sans même me planter sur la formule de $\cos(a)\cos(b)$ (qui est?...) et je conclus. Là on me demande si on pouvait s'y attendre. Je réponds vite que la convergence normale de la série $\sum_k \frac{\cos(k \cdot )}{2^k}$ m'aurait permis d'intervertir la limite et l'intégrale. On me répond que c'est vrai, mais que $|P_n|^2$ n'est pas une "série" de fonctions (il y a 2 indices pour la somme). Qu'est ce qu'on peut quand même dire ? Je réponds qu'il y a convergence uniforme. On me demande pourquoi $(P_n)_n$ cvu vers $P$ implique $(|P_n|^2)_n$ cvu vers $|P|^2 $ ? Je réponds qu'en factorisant par $|P_n-P|$ il suffit d'avoir une bornitude de $|P_n+P|$ uniforme, qui est ici vérifiée ici (on majore par $4$). Ca leur suffit. On me redemande si on pouvait s'attendre au résultat. Je dis que c'est l'égalité de Parseval, et on me demande de l'énoncer (en m'accordant la constante). On s'arrête là.

En conclusion: peut mieux faire. Ca m'aurait mis en confiance de répondre à des questions sur mon plan. Malgré tout, le jury était globalement très sympathique donc je me dis qu'ils savaient ce qu'ils faisaient. _Rétrospectivement j'avais raison puisque j'ai eu la note de 19. Je pense que le jury a senti que le début de mon oral était un peu chaotique mais que j'ai pu rattraper un peu de confiance dans la seconde moitié._

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

19

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

222 : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

Intégrale de Dirichlet

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

- Rappelez la définition de l'intégrale complexe sur un chemin
- Vous avez parlé de Fourier-Plancherel dans votre plan : pourquoi ? quel est le problème avec la TF $L^1$ ?
- Connaissez vous un ensemble de fonctions "simples" pour lesquelles l'inversion de Fourier $L^1$ s'applique ?
- Soit $f$ intégrable sur $\mathbb{R}$ de classe $C^1$ telle que $f'$ soit aussi intégrable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ admet pour limite $0$ en $\pm \infty$.

jury très sympathique qui met en confiance, malgré le fait que je n'ai pas eu le temps de tout à fait finir mon développement.

C'était mon premier oral : le stress et la fatigue m'ont ralenti pour mon développement (un peu calculatoire) ce qui fait que je n'ai pas pu finir complètement. Heureusement le jury sait mettre en confiance de sorte que j'ai pu répondre normalement aux questions.

16.75

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.

Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Questions sur le développement :
Ils m'ont fait corriger les quelques erreurs que j'avais écrites.
Détailler Fubini, préciser la définition du produit de convolution, pourquoi a-t-on convergence dans $L^p$ de $f*h_n$ vers $f$ (avec $h_n$ approximation de l’unité), puis pourquoi a-t-on la continuité de l’opérateur de translation (densité des $C_c$), enfin pourquoi si on converge dans $L^p$ on a une suite extraite qui converge pp.

Le probabiliste se réveille :
- Qu’est-ce que ce corollaire d’extraction dit au niveau des v.a.
Je n’ai pas tout de suite très bien compris ce qu’il voulait me faire dire, il m’a demandé alors les implications des différents modes de cv de va et j’ai répondu.
- Que peut-on dire en l’infini de la transformée de Fourier de $f$ ? Riemann Lebesgue.
- Est-ce vrai pour la transformée de Fourier d’une mesure ? Non avec les Dirac
- Quand est-ce vrai ? Là j’ai dit que je ne savais pas précisément, ça marche si on est absolument continue par rapport à Lebesgue (oui bon d’accord…) puis j’ai parlé du théorème de Lévy mais c’est pas vraiment ce qu’il attendait.
Le probabiliste se rendort.

Exercice : Calculer $\int_0^\infty \frac{1}{1+x^n}dx$
J’ai dit qu’on pouvait utiliser des résidus (j’avais mis cette intégrale avec $n=4$ dans mon plan), puis ils m’ont fait chercher un contour, j’ai un peu galéré parce qu’on ne pouvait pas prendre le demi cercle supérieur comme je l’avais mis dans le plan, il fallait réduire en un domaine plus petit (type camembert) avec le bon angle, que j’ai galéré à trouver (alors que c’était juste $2 \pi /n$…).

Exercice : le probabiliste se réveille à nouveau. On prend deux va normales centrées réduites indépendantes $X$ et $Y$, calculer la loi de $X/Y$. J’ai dit qu’il fallait calculer $E[f(X/Y)]$ pour $f$ borélienne positive quelconque, faire un changement de variables. Je me suis un peu embrouillé avec l’intégrale, je ne savais plus si j’intégrer sur $\mathbb R$ ou $\mathbb R^2$, bref c’était pas très joli à voir, surtout que j’ai fini par écrire le changement de variables en oubliant de déterminant du jacobien...le boss me dit alors « et c’est tout », et je réponds, genre j’y avais pensé, non il faut le déterminant du jacobien. Pas eu le temps de finir.

Trois profs : un boss, une dame, un probabiliste.
Le boss menait la discussion, le probabiliste posait les questions de probas (eh oui !), la dame n'a rien dit.
Jury très neutre.

Très stressé au début de l’oral (c’était mon premier), donc des erreurs sur le développement qu’ils m’ont fait corriger (il manquait une intégrale puis il y en avait une qui n’avait pas lieu d’être).
3h c'est court !! J'ai été un peu pris par le temps, donc je n'ai pas eu le temps de relire mes développements...ce qui m'aurait éviter plusieurs erreurs.
Suivez les conseils de Danthony !!!! J'ai eu toutes la ribambelle de questions sur des preuves de convolution, j'étais bien content de savoir y répondre avec les bons arguments dans l'ordre.

Pas de réponse fournie.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Résolution de y'' - y = H dans S'(R)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

quelques questions sur le plan et deux exos.

- Une question sur le dev (le calcul de la transformée de $\delta_0$, je l'ai fait en le voyant comme une distrib - ça prend une ligne - et ils m'ont demandé de le faire "directement", par un calcul de transformée pour une mesure du coup)

- Questions sur le plan : dans quels items du plan j'utilisais le théorème de changement de variable (j'explique vite fait le calcul de l'intégrale de la gaussienne notamment) ; pourquoi j'avais mentionné la marche aléatoire sur $\mathbb{Z}^d$ (c'était un exemple donné après l'intégration des $1 /||x||^{\alpha}$, je me suis embrouillé à pas trop savoir quoi dire et quoi survolé mais j'ai finalement justifié la présence du truc (on intègre des trucs de la forme $1/(1-cos(x))$) ; est-ce que j'avais un autre exemple de calcul des résidus en tête (hic, j'ai donné que mon dev 1 comme exemple, je savais pas où en chercher d'autre - ben j'en avais pas, c'est un peu con).

- Exo 1 :

$$
I_n = \int_0^n (1-x/n)^n \ln(x) dx
$$

Donner la limite de $I_n$ (dire ce que c'est puis le montrer). En déduire la valeur de $\int_0^{\infty} \exp(-x) \ln(x) dx$.

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Que du bon calcul calculatoire de taupin. Le machin auquel on pense tend vers l'exponentielle et donc, incroyable, la limite de $I_n$ c'est l'autre intégrale.

On commence par mettre une $\mathbb{1}_{[0,n]}$ pour que l'intégrale soit gérable, puis on fait de la CVD ; pour la domination, on peut passer par la concavité du log et hop. Pour calculer l'intégrale ensuite il va falloir une écriture explicite de $I_n$ : on change de variable pour virer les $x/n$, on découpe ce qu'il reste du log, ce qui fait poper un terme qui s'intègre directement et un autre qu'on peut calculer par IPP. On a arrêté l'exo une fois que j'avais amorcé l'IPP, on m'a vite fait demandé si je savais la limite de $\ln(n) - \sum_{k=1}^n 1/k$ qui intervient à la fin (houuuuu).

- Exo 2 : on prend $A$ une matrice symétrique. Deviner quel exo on va bien pouvoir faire avec dans cette leçon.

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Bon, le vrai exo, c'était évidemment d'étudier $\int_{\mathbb{R}^n} \exp(-(Ax,x)) dx$, et de la calculer quand $A$ est $S_n^{++}$. Voilà, voilà...

Quelques indications quand je mongolisais, et jury qui aide notamment à ne pas écrire de choses fausses (ils m'ont corrigé immédiatement quelques erreurs type problème de signe / objets qui disparaissent mystérieusement d'une ligne sur l'autre / ...)

- C'est vraiment pas beaucoup trop heures fichtre ! J'avais une bonne idée de plan, quelques bons exemples mais il m'en manquait des basiques pour illustrer certaines notions et mon plan était un peu vide.

- Je suis tombé sur JP Barani, un colleur de ma prépa (qui ne m'a pas reconnu) qui me terrifiait. Il s'est montré plutôt sympa, finalement.

- Globalement, je m'attendais un peu à la douche (plan OK mais maigre, développements pas trop en confiance) mais ça s'est plutôt bien passé. Dommage pour les trop nombreuses erreurs de mongol.

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