Développement : Injectivité de la transformée de Fourier

Détails/Enoncé :

On démontre que l'application F : L^1 -> L^1 est injective en calculant la transformée de la gaussienne (via le théorème de Cauchy des fonctions holomorphes et le théorème de convergence dominée), en utilisant le théorème d'approximation de l'unité dans L^1 et quelques propriétés (relativement faciles) de la transformée de Fourier.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Référence : El Amrani - Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, p.115-116 & 156-157.

    NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
    NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
    NB3 : C'est ce développement qui a été choisi le jour de mon oral et on m'a posé, entre autres, les questions : 2,3,4,5. (Pensez à préparer des questions, pour chaque développement, que le jury serait susceptible de vous poser).
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    Un développement plutôt tranquille qui donne un résultat remarquable sur la transformation de Fourier (avec la preuve de la transformée de Fourier de la gaussienne en lemme).

    Attention aux recasages que je propose dans le PDF : le recasage en 235 est abusif après réflexion, et j'aurais ajouté la 245 (fonctions holomorphes...) en plus. Je le ferai plus tard sur le document.

    Attention aux coquilles.
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    Développement plutôt sympa je trouve mais pas dans les plus simples, il faut être au clair calculatoirement. Il y a aussi de "gros" résultats que l'on suppose (cf fin du documents) donc il faut être à l'aise avec ça.

    Je prends ce développement pour les leçons 234, 235, 236, 239 et 250.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 115 puis de la page 156 pour le lemme.
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    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse, Mohammed El Amrani (utilisée dans 151 versions au total)