Leçon 236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

(2024) 236

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.) Les exemples proposés par les candidats pourront cette leçon devront mettre en oeuvre des techniques diversifiées : méthodes élémentaires, intégrales dépendant d'un paramètre, utilisation de la formule des résidus, de sommes de Riemann, voire de la transformée de Fourier dans $L^1(R)$ ou $L^2(R)$. Il est attendu des candidats qu'ils proposent quelques exemples significatifs de calculs d'intégrales multiples (utilisation du théorème de Fubini, de changements de variables, de la formule de Green-Riemann, etc.). Pour éviter de donner à la leçon un tour trop "académique", les candidats pourront également proposer des résultats dont la preuve utilise un calcul d'intégrale, comme par exemple (purement indicatif) celle du théorème d'inversion de Fourier utilisant la transformée de Fourier d'une gaussienne. Il est enfin loisible de proposer quelques méthodes de calcul approché d'intégrales. La théorie des probabilités fournit également un champ d'applications fertile.

(2019 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.) Cette leçon doit être très riche en exemples, que ce soit l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}dt$ ou bien d’autres encore. Il est tout à fait pertinent de commencer par les différentes techniques élémentaires (intégration par parties, changement de variables, décomposition en éléments simples, intégrale à paramètres,...). Trop de candidats manquent d’aisance avec le calcul d’intégrales multiples. Le calcul de l’intégrale d’une gaussienne sur $\textbf{R}^n$ ou le calcul du volume de la boule unité de $\textbf{R}^n$ ne devraient pas poser de problèmes insurmontables. Le programme du concours indique que la formule d’intégration par parties multi-dimensionnelle qui relie intégrale de volume et intégrale de surface est admise ; il ne faut pas hésiter à l’exploiter et à l’illustrer par des exemples. On peut également présenter des utilisations du théorème des résidus. $\\$ On peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion deFourierou du théorème dePlancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales. $\\$ Enfin, il est tout à fait pertinent d’évoquer les méthodes de calcul approché d’intégrales (méthodes des rectangles, méthode de Monte-Carlo, etc.), une piste qui mériterait d’être davantage explorée.
(2017 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonction d'une ou plusieurs variables.) Cette leçon doit être très riche en exemples, que ce soit l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$ ou bien d’autres encore. Il est tout à fait pertinent de commencer par les différentes techniques élémentaires (intégration par parties, changement de variables, décomposition en éléments simples, intégrale à paramètres,...). On peut également présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples comme le calcul de l’intégrale d’une gaussienne. Le calcul du volume de la boule unité de $R^n$ ne doit pas poser de problèmes insurmontables. Le calcul de la transformation de Fourier d’une gaussienne a sa place dans cette leçon. On peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales. Enfin, il est aussi possible d’évoquer les méthodes de calcul approché d’intégrales (méthodes des rectangles, méthode de Monte-Carlo, etc.).
(2016 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.) Cette leçon doit être très riche en exemples simples, comme l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$. Il est souhaitable de présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples comme le calcul de l’intégrale d’une gaussienne. Le calcul du volume de la boule unité de $R^n$ ne doit pas poser de problèmes insurmontables. Le calcul de la transformation de Fourier d’une gaussienne a sa place dans cette leçon. On peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales.
(2015 : 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.) Dans cette leçon, il est souhaitable de présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples. On peut aussi penser à l'utilisation du théorème d'inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Le calcul du volume de la boule unité de $\mathbb{R}^n$ ne devrait pas poser de problèmes insurmontables.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente :

    I. Méthodes élémentaires
    1) Primitives
    2) IPP (DVT : wallis et stirling)
    3) Chgt de variable et Bioche (DVT : calcul intégrale de Gauss et transfo Fourier Gaussienne)
    4) Intégrale d'une fonction holomorphe
    II. Inversion de symboles
    1) Fubini et inversion série intégrale
    2) Convergence monotone et dominée
    III. Intégrales à paramètres
    1) Thm (DVT : eq de la chaleur)
    2) Transfo de Fourier (DVT : calcul intégrale de Gauss et transfo Fourier Gaussienne)

2024 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

    Je ne mets pas de réfs pour celle-ci, tous les bouquins d'analyse fonctionne. On peut étoffer de mille manière, il faut juste faire des choix
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Les résultats qui composent les premières parties de ce plan sont hyper classiques, ils se retrouvent dans pas mal de références.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    Cette leçon n'est pas des plus faciles à travailler... Du moins selon moi car je ne suis pas très doué en calcul...
    Sinon les choses se trouvent plutôt bien dans le Gourdon pour les méthodes directes, le Briane-Pagès pour les méthodes indirectes (ou le Li Intégration selon les préférences)
    J'ai mis quelques exemples quand même, mais peut-être pas assez... C'est ça aussi la difficulté des leçons "illustrer par des exemples..." ou "exemples de...", c'est qu'on sait qu'on doit mettre des exemples mais pas à quel point...
    Il me semble important de parler un peu de calcul approché. On peut même en parler plus que cela, mais je suis moyennement à l'aise avec l'analyse numérique donc j'ai mis le strict minimum. C'est bien de parler de Monte-Carlo je pense, même si on ne fait pas l'option A, c'est assez facile à comprendre (attention, avec Monte-Carlo, il faut penser à donner un intervalle de confiance !!!)

    En DEV1, j'ai mis l'étude de la fonction Gamma, qui fonctionne, mais je pense qu'on peut mettre à la place l'injectivité de la transformée de Fourier avec le calcul de la TF d'une Gaussienne et la formule d'échange, qui rentrerait peut-être mieux... C'est peut-être ce que j'aurais fait si j'étais tombé dessus le jour J.

    /!\ Après coup, j'ai légèrement modifié mon DEV2, je ne calculais pas cette intégrale mais une intégrale plus sophistiquée : $I=\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{t^n}{1+t^{\alpha}}dt$ pour $n>\alpha+1>0$ par la même méthode (avec le théorème des résidus et un bon chemin... Il est dans le Tauvel). Il faut vraiment beaucoup s'entraîner sur un tel développement car c'est beaucoup de calcul et le jour J avec le stress et le temps limité, on peut vite s'embourber.
    Même si on ne fait pas un DEV qui utilise la méthode des résidus dans cette leçon, je conseillerais de bien réviser cette méthode pour cette leçon, je pense que le jury demandera forcément de calculer une intégrale de cette manière... On peut aussi rajouter dans le plan la formule et le théorème de Cauchy que j'ai oubliés !

    Finalement, je n'utilise pas le Queffelec d'analyse complexe dans cette leçon.
  • Références :
  • Fichier :

2023 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.


2020 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.


2018 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.


2017 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonction d'une ou plusieurs variables.


2016 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.


Retours d'oraux :

2024 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Injectivité de la transformée de Fourier

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je rentre, le jury me rappelle les consignes de l'épreuve puis me dit que je peux commencer dès que je le souhaite. Je souffle un coup et commence par la présentation de mon plan (qui tient exactement 6 minutes). Celui-ci tourne réellement autour des exemples, un théorème, une application directe par exemple du dit théorème. Les jurys se mettent d'accord pour partir sur l'injectivité de la transformée de Fourier (je me dis que je vais pouvoir y aller bien tranquillement étant donné que ce développement rentre largement). J'effectue mon développement, et même en ayant l'impression de prendre bien mon temps, le développement se termine en 13 minutes. Le jury n'a pas l'air d'avoir de problèmes avec ça, il passe au questions.

    Questions liées au développement :
    1) Pourquoi la fonction dans mon intégrante ($ x \mapsto e^{-bx^2} e^{itv} $) est mesurable
    R: car elle est continue
    2) J'ai utilisé le résultat suivant dans mon développement et qui fait partie de mon plan : Soit f dans $L^1(R)$ et $(\phi_j)_j$ une approximation de l'unité, alors $f * phi_j$ tend en norme 1 vers $f$. Donner les idées de la preuve de ce théorème.
    R: On va utiliser toutes les hypothèse des approximations de l'unité, en séparant classiquement (un peu comme dans le théorème de Fejer) mais pour une des deux parties, celle qui ne relève pas du caractère approximation de l'unité, je bug, et je donne des idées à l'oral. Le jury me demande si je ne pourrais pas utilisé des résultats de densité. Je propose dès lors d'utilise les continues à support compact dans L1 + thm de convergence dominée. Le jury est ok, et passe à autre chose

    Questions liés au plan :
    1) Demande de détailler un exemple du plan qui utilise le corollaire permettant l'échange entre série et intégrale issue de Beppo-Levi. Ex suivant : $$ \int_0^1 \frac{ln(x)}{x-1} dx = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} $$
    R: Voir Daniel Li, Intégration, exercice III.1 (page 124) - corrigé à la fin du Li

    2) Donner un équivalent en $+\infty$ de : $$\int_0^{x} e^{t^2} dt$$
    R: Question où j'ai eu du mal, le jury a du bien m'aider, , il fallait effectuait une IPP en écrivant 1 comme 2t / 2t, pour reconnaitre une dérivée de $e^{t^2}$, puis négligéait de 0 à 1 où l'intégrale de l'IPP n'était pas bien définit, et regardait dans l'IPP en terme de négligeabilité. Je ne me souviens plus de la réponse précise.

    3) Soit $f : R^n \rightarrow [0;+\infty[$ mesurable et $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $R^n$. Montrer que : $$\int_{0}^{+\infty} \lambda(\{x, f(x) > t\}) dt = \int_{R^n} f(x) dx$$
    R : Réécrire le membre de gauche, et utiliser le théorème de Fubini pour échanger.

    4) En déduire le volume d'une hyperbole dans $R^n$ via la fonction $f: x \mapsto \exp(-||x||^2)$ où $||.||$ correspond à la norme euclidienne sur $R^n$
    R: utiliser la question 3, avec $f$ et réécrire le tout, en terme de boules, on obtient une expression

    5) Dans la question d'avant, via le calcul, le jury m'a demandé le lien entre B(0,r) et la boule unité.
    R: B(0,r) = r*B(0,1)

    6) Calculer sur $D=\{(x,y) \in R^2, \frac{x^2}{4} + y^2 \leq 1\}$ l'intégrale : $$ \int_{D} y^2 dx dx$$
    R: Je ne savais trop par quoi commencer, j'ai dès lors proposer de réécrire cette intégrale sur R^2 via des indicatrices (un peu comme en proba), le jury m'a dit que ça devait marcher mais que ce n'est pas ici ce qu'il cherchait, et m'a demandé si je ne pouvais pas écrire cette intégrale comme intégrale sur le bord d'un contour... Je me suis demandé (via mes souvenirs de physique de prépa) si ça n'avait pas un lien avec les théorèmes de Green-Ostrogratski ce que j'ai proposé à l'oral, ils m'ont dit oui, et j'ai donc dis que je ne connaissais pas du tout le dit résultat. Ils m'ont dit pas de soucis et sont passés à autre chose.

    7) Comment calculer $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$$ (on arrivait à la fin de l'oral, donc ils n'attendaient pas le résultat total mais les grandes étapes)
    R: J'ai proposé de le faire via résidu, avec la fonction $z \mapsto \frac{\exp{iz}}{z}$ Ils me demandent de proposer un bon contour, et de détailler les paramètrisations et le raisonnement, ce que j'effectue, avec un demi cercle- relevé autour de 0 (un peu comme un demi cd).

    On arrive dès lors à la fin de l'épreuve.

    RMQ: 1 visiteur

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury composé de deux hommes et une femme, ce jury était très souriant et aidant, me laissant réfléchir, mais n'hésitant pas à donner des conseils. La femme n'a presque rien dit de l'oral et est aller s'étiré au fond de la salle en plein milieu de mon développement (pas très sympa...). Le jury était dirigé par un des deux hommes, mais les deux posaient les questions. Bonne expérience

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS, comme imaginé. Je suis sorti très confiant de cette oral, tout s'étant très bien passé, et ayant su répondre aux questions du jury !

  • Note obtenue :

    17.25


2023 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Transformée de Fourier par les résidus

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai commencé ma leçon avec des schémas numériques de calcul d'intégrales en insistant sur leur aspect historique et pratique. J'ai ensuite présenté les différentes méthodes utilisant des primitives puis les IPP et changement de variables. Dans une troisième partie, j'ai repris ces résultats en dimensions supérieures, en ajoutant les théorème de Fubini-Tonelli et de Fubini et la coaire puis mon premier développement. Enfin, j'ai parlé d'utilisation de l'analyse complexe et de son application à mon second développement. Globalement, je suis pas allée chercher très compliqué, il y a juste la formule de la coaire qui était la petite cerise sur le gâteau, et dont j'ai expliqué vite fait le principe lors de la présentation.

    J'ai déroulé mon développement, il est pas très compliqué, j'ai bien pris le temps d'expliquer ce qu'il se passait, en faisant de dessins.

    les question du jury sur le développement :

    - application du développement à la fonction $f:t\mapsto \frac 1{1+t^2}$
    - montrer que $\int_0^\pi \sin = 2\int_0^{\pi/2} \sin $
    - le résultat est-il encore valable si on a un élément de $\mathbb L^2$?

    les question du jury :

    - comment fait-on pour la transformée de Fourier dans $\mathbb L^2$? (j'ai répondu comment on faisait théoriquement) Et en pratique? (j'ai pas su répondre)
    - montrer que $\mathcal F (\chi_{[-1,1]}) = \frac {\sin t}t$. En déduire $\int_0^{+\infty} \frac {\sin t}t dt$ et $\int_0^{+\infty} \frac {\sin t}t \frac {\sin 2t}{2t} dt$
    - comment retrouver $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt \pi$? La gaussienne apparaît dans quelle loi en proba?
    - si $f:[-1,1] \to \mathbb R$ vérifie les hypothèses que l'on veut, quel contrôle a-t-on sur

    \[\frac 1 n \sum_{k=0}^n f \left( \frac k n \right) -\int_0^1 f \]

    - comparer $\exp(\int_0^1 f)$ et $\int_0^1 \exp(f)$
    - soit $a>0$, exprimer $\int_0^1 \frac 1{1+t^a} dt$ en une série qui converge (j'ai pas eu le temps de finir)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympathique. La probabiliste était ravie que je prononce les mots "loi normale" et "Jensen"

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Juste un petit coup de stress pendant la préparation en ouvrant le Schwartz, vu qu'il n'a ni index ni sommaire.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Formule d'inversion de Fourier dans L1

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pour les questions qu'on m'a posé :

    - Pourquoi vous avez unicité de la solution pour $y' = -\frac{t}{\sigma^2} y$ ? Il fallait prononcer Cauchy-Lipschitz.

    - Pourquoi $(g_\sigma)_\sigma$ forme une suite d'approximation de l'unité ? J'avais dit pendant la présentation, car $g_\sigma =\frac{1}{\sigma}g_1(\frac{\cdot}{\sigma})$ et $g_1$ est positive, d'intégrale $1$. Je réponds donc en donnant la définition d'approximation de l'unité et en vérifiant que ce procédé donne des approximations.

    - On passe au plan: démontrer le théorème de changement de variable en dimension $1$ ? Je réécris l'énoncé, me trompe dans mes notations, galère, et m'en sors avec leur aide en remarquant que si $F$ est primitive de $f$ alors $(F\circ\phi)' = \phi' \cdot (F\circ \phi) $. Je me sens con.

    - On passe aux exos. Soit $T$ le triangle parcourant (dans ce sens) $0$ puis $A$, puis $A(1+i)$. On me demande combien vaut
    $$ \int _{\partial T}\exp(-z^2)\mathrm{d} z. $$ Je réponds que c'est zéro via le théorème de Cauchy. On me demande de l'appliquer dans ce cas et de voir lorsque $A \to +\infty $. J'écris bien Cauchy puis essaie une CVD pour montrer qu'un terme tend vers $0$, je galère, puis finalement on me dit qu'il fallait majorer plus finement (du genre pour $u \in [0,1]$, majorer $u^2$ par $u$ plutôt que $1$, sous l'intégrale). On finit pas le calcul, pour faire autre chose.

    - Second exo: soit $P_n (t) = \sum_{k=0}^n \frac{\cos(k t)}{2^k}$. On demande de calculer
    $$ \lim_{n \to+\infty}\int_{-\pi}^\pi |P_n (t)|^2 \mathrm{d} t. $$
    Je calcule tranquillos, sans même me planter sur la formule de $\cos(a)\cos(b)$ (qui est?...) et je conclus. Là on me demande si on pouvait s'y attendre. Je réponds vite que la convergence normale de la série $\sum_k \frac{\cos(k \cdot )}{2^k}$ m'aurait permis d'intervertir la limite et l'intégrale. On me répond que c'est vrai, mais que $|P_n|^2$ n'est pas une "série" de fonctions (il y a 2 indices pour la somme). Qu'est ce qu'on peut quand même dire ? Je réponds qu'il y a convergence uniforme. On me demande pourquoi $(P_n)_n$ cvu vers $P$ implique $(|P_n|^2)_n$ cvu vers $|P|^2 $ ? Je réponds qu'en factorisant par $|P_n-P|$ il suffit d'avoir une bornitude de $|P_n+P|$ uniforme, qui est ici vérifiée ici (on majore par $4$). Ca leur suffit. On me redemande si on pouvait s'attendre au résultat. Je dis que c'est l'égalité de Parseval, et on me demande de l'énoncer (en m'accordant la constante). On s'arrête là.

    En conclusion: peut mieux faire. Ca m'aurait mis en confiance de répondre à des questions sur mon plan. Malgré tout, le jury était globalement très sympathique donc je me dis qu'ils savaient ce qu'ils faisaient. _Rétrospectivement j'avais raison puisque j'ai eu la note de 19. Je pense que le jury a senti que le début de mon oral était un peu chaotique mais que j'ai pu rattraper un peu de confiance dans la seconde moitié._

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    19


2022 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    222 : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Intégrale de Dirichlet

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Rappelez la définition de l'intégrale complexe sur un chemin
    - Vous avez parlé de Fourier-Plancherel dans votre plan : pourquoi ? quel est le problème avec la TF $L^1$ ?
    - Connaissez vous un ensemble de fonctions "simples" pour lesquelles l'inversion de Fourier $L^1$ s'applique ?
    - Soit $f$ intégrable sur $\mathbb{R}$ de classe $C^1$ telle que $f'$ soit aussi intégrable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ admet pour limite $0$ en $\pm \infty$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    jury très sympathique qui met en confiance, malgré le fait que je n'ai pas eu le temps de tout à fait finir mon développement.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    C'était mon premier oral : le stress et la fatigue m'ont ralenti pour mon développement (un peu calculatoire) ce qui fait que je n'ai pas pu finir complètement. Heureusement le jury sait mettre en confiance de sorte que j'ai pu répondre normalement aux questions.

  • Note obtenue :

    16.75


2016 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement :
    Ils m'ont fait corriger les quelques erreurs que j'avais écrites.
    Détailler Fubini, préciser la définition du produit de convolution, pourquoi a-t-on convergence dans $L^p$ de $f*h_n$ vers $f$ (avec $h_n$ approximation de l’unité), puis pourquoi a-t-on la continuité de l’opérateur de translation (densité des $C_c$), enfin pourquoi si on converge dans $L^p$ on a une suite extraite qui converge pp.

    Le probabiliste se réveille :
    - Qu’est-ce que ce corollaire d’extraction dit au niveau des v.a.
    Je n’ai pas tout de suite très bien compris ce qu’il voulait me faire dire, il m’a demandé alors les implications des différents modes de cv de va et j’ai répondu.
    - Que peut-on dire en l’infini de la transformée de Fourier de $f$ ? Riemann Lebesgue.
    - Est-ce vrai pour la transformée de Fourier d’une mesure ? Non avec les Dirac
    - Quand est-ce vrai ? Là j’ai dit que je ne savais pas précisément, ça marche si on est absolument continue par rapport à Lebesgue (oui bon d’accord…) puis j’ai parlé du théorème de Lévy mais c’est pas vraiment ce qu’il attendait.
    Le probabiliste se rendort.

    Exercice : Calculer $\int_0^\infty \frac{1}{1+x^n}dx$
    J’ai dit qu’on pouvait utiliser des résidus (j’avais mis cette intégrale avec $n=4$ dans mon plan), puis ils m’ont fait chercher un contour, j’ai un peu galéré parce qu’on ne pouvait pas prendre le demi cercle supérieur comme je l’avais mis dans le plan, il fallait réduire en un domaine plus petit (type camembert) avec le bon angle, que j’ai galéré à trouver (alors que c’était juste $2 \pi /n$…).

    Exercice : le probabiliste se réveille à nouveau. On prend deux va normales centrées réduites indépendantes $X$ et $Y$, calculer la loi de $X/Y$. J’ai dit qu’il fallait calculer $E[f(X/Y)]$ pour $f$ borélienne positive quelconque, faire un changement de variables. Je me suis un peu embrouillé avec l’intégrale, je ne savais plus si j’intégrer sur $\mathbb R$ ou $\mathbb R^2$, bref c’était pas très joli à voir, surtout que j’ai fini par écrire le changement de variables en oubliant de déterminant du jacobien...le boss me dit alors « et c’est tout », et je réponds, genre j’y avais pensé, non il faut le déterminant du jacobien. Pas eu le temps de finir.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Trois profs : un boss, une dame, un probabiliste.
    Le boss menait la discussion, le probabiliste posait les questions de probas (eh oui !), la dame n'a rien dit.
    Jury très neutre.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Très stressé au début de l’oral (c’était mon premier), donc des erreurs sur le développement qu’ils m’ont fait corriger (il manquait une intégrale puis il y en avait une qui n’avait pas lieu d’être).
    3h c'est court !! J'ai été un peu pris par le temps, donc je n'ai pas eu le temps de relire mes développements...ce qui m'aurait éviter plusieurs erreurs.
    Suivez les conseils de Danthony !!!! J'ai eu toutes la ribambelle de questions sur des preuves de convolution, j'étais bien content de savoir y répondre avec les bons arguments dans l'ordre.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2015 : Leçon 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Leçon choisie :

    236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

  • Autre leçon :

    246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Résolution de y'' - y = H dans S'(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    quelques questions sur le plan et deux exos.

    - Une question sur le dev (le calcul de la transformée de $\delta_0$, je l'ai fait en le voyant comme une distrib - ça prend une ligne - et ils m'ont demandé de le faire "directement", par un calcul de transformée pour une mesure du coup)

    - Questions sur le plan : dans quels items du plan j'utilisais le théorème de changement de variable (j'explique vite fait le calcul de l'intégrale de la gaussienne notamment) ; pourquoi j'avais mentionné la marche aléatoire sur $\mathbb{Z}^d$ (c'était un exemple donné après l'intégration des $1 /||x||^{\alpha}$, je me suis embrouillé à pas trop savoir quoi dire et quoi survolé mais j'ai finalement justifié la présence du truc (on intègre des trucs de la forme $1/(1-cos(x))$) ; est-ce que j'avais un autre exemple de calcul des résidus en tête (hic, j'ai donné que mon dev 1 comme exemple, je savais pas où en chercher d'autre - ben j'en avais pas, c'est un peu con).

    - Exo 1 :

    $$
    I_n = \int_0^n (1-x/n)^n \ln(x) dx
    $$

    Donner la limite de $I_n$ (dire ce que c'est puis le montrer). En déduire la valeur de $\int_0^{\infty} \exp(-x) \ln(x) dx$.

    ---

    Que du bon calcul calculatoire de taupin. Le machin auquel on pense tend vers l'exponentielle et donc, incroyable, la limite de $I_n$ c'est l'autre intégrale.

    On commence par mettre une $\mathbb{1}_{[0,n]}$ pour que l'intégrale soit gérable, puis on fait de la CVD ; pour la domination, on peut passer par la concavité du log et hop. Pour calculer l'intégrale ensuite il va falloir une écriture explicite de $I_n$ : on change de variable pour virer les $x/n$, on découpe ce qu'il reste du log, ce qui fait poper un terme qui s'intègre directement et un autre qu'on peut calculer par IPP. On a arrêté l'exo une fois que j'avais amorcé l'IPP, on m'a vite fait demandé si je savais la limite de $\ln(n) - \sum_{k=1}^n 1/k$ qui intervient à la fin (houuuuu).

    - Exo 2 : on prend $A$ une matrice symétrique. Deviner quel exo on va bien pouvoir faire avec dans cette leçon.

    ---

    Bon, le vrai exo, c'était évidemment d'étudier $\int_{\mathbb{R}^n} \exp(-(Ax,x)) dx$, et de la calculer quand $A$ est $S_n^{++}$. Voilà, voilà...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Quelques indications quand je mongolisais, et jury qui aide notamment à ne pas écrire de choses fausses (ils m'ont corrigé immédiatement quelques erreurs type problème de signe / objets qui disparaissent mystérieusement d'une ligne sur l'autre / ...)

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    - C'est vraiment pas beaucoup trop heures fichtre ! J'avais une bonne idée de plan, quelques bons exemples mais il m'en manquait des basiques pour illustrer certaines notions et mon plan était un peu vide.

    - Je suis tombé sur JP Barani, un colleur de ma prépa (qui ne m'a pas reconnu) qui me terrifiait. Il s'est montré plutôt sympa, finalement.

    - Globalement, je m'attendais un peu à la douche (plan OK mais maigre, développements pas trop en confiance) mais ça s'est plutôt bien passé. Dommage pour les trop nombreuses erreurs de mongol.

  • Note obtenue :

    15


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Calcul Intégral , Faraut (utilisée dans 33 versions au total)
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès (utilisée dans 105 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 212 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 567 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 63 versions au total)
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel (utilisée dans 101 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 457 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer (utilisée dans 42 versions au total)
Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 36 versions au total)
Analyse Complexe, Amar, Mathéron (utilisée dans 25 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 3, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 26 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 87 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 73 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 46 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 23 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 106 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 210 versions au total)
Analyse numérique, Une approche mathématique, Michelle Schatzman (utilisée dans 5 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 33 versions au total)
Les contre-exemples en mathématiques , Hauchecorne (utilisée dans 34 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 70 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 86 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 311 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 275 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 75 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 141 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)