Développement : Formule de Stirling par la méthode de Laplace

Détails/Enoncé :

-> On commence par montrer le lemme de Watson pour la transformée de Laplace :
Soit $f$ une fonction intégrable au voisinage de 0 et à croissance au plus exponentielle en l'infini, on suppose de plus que $f$ admet un développement asymptotique en 0 de la forme :

$f(x) = a_0 x^{\alpha_0} + \ldots a_n x^{\alpha_n} + O_0(x^{\alpha_{n + 1}})$
avec $-1 < \alpha_0 < \ldots < \alpha_{n + 1}$

Alors $\mathcal{L}(f) = \sum_{k = 0}^{n} a_k \frac{\Gamma(\alpha_k + 1)}{x^{\alpha_k + 1}} + O_{+\infty}(\frac{1}{x^{\alpha_{n + 1} + 1}})$

-> On utilise ensuite ce lemme pour appliquer la méthode de Laplace à la fonction Gamma et retrouver ainsi l'équivalent de Stirling
$\Gamma(x + 1) \sim_{+\infty} e^{-x}x^x\sqrt{2\pi x}$

Recasages pour l'année 2024 :

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  • Remarque :
    Ma version est une adaptation de ce qui est fait dans le Candelpergher au chapitre méthode de Laplace.
    Je ne fais cependant pas la méthode générale mais j'applique l'idée à la fonction gamma.
    Je n'ai pas de référence pour le calcul du développement asymptotique de la réciproque. J'espère que c'est correct : A vos risques !!!
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Références utilisées dans les versions de ce développement :