Développement : Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)

Détails/Enoncé :

Soit $u \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$, on définit $\widehat{u} (y) = \mathcal{F}(u)(y) = \int_{\mathbb{R}^d} u(x) e^{-ixy} dx$ et $\overline{\mathcal{F}}(u)(x) =(2\pi)^{-d} \int_{\mathbb{R}^d} u(y) e^{ixy}dy $.
Alors

$$ \mathcal{F} \circ \overline{\mathcal{F}} = \overline{\mathcal{F}} \circ \mathcal{F} = \mathsf{id}_{\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)} $$

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