Leçon 239 : Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

(2015) 239
(2017) 239

Dernier rapport du Jury :

(2016 : 239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications. ) Souvent les candidats incluent les théorèmes de régularité (version segment — a minima — mais aussi version “convergence dominée”) ce qui est pertinent. Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les propriétés de la fonction $\Gamma$ d’Euler fournissent un développement standard (il sera de bon ton d’y inclure le comportement asymptotique). Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace, . . .) relèvent aussi de cette leçon. On peut en donner des applications pour obtenir la valeur d’intégrales classiques (celle de l’intégrale de Dirichlet par exemple). Pour aller plus loin, on peut par exemple développer les propriétés des transformations mentionnées (notamment Fourier), ainsi que de la convolution.

(2015 : 239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.) Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace, ...) relèvent aussi de cette leçon.
(2014 : 239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.) Cette leçon doit être enrichie par des études et méthodes asymptotiques et les transformations classiques (Fourier, Laplace, etc.).

Développements :

Plans/remarques :

2016 : Leçon 239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2016 : Leçon 239 - Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    239 : Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    262 : Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai été étonné car j'ai eu beaucoup de questions sur mon développement et sur mon plan, mais presque aucun exercice.

    Sur mon développement (densité des polynômes orthogonaux) ils m'ont demandé pourquoi il suffisait de montrer que $ \int fx^n=0 \forall n \Rightarrow f=0$ pour avoir la densité, je me suis un peu embrouillé en parlant d'abord des conséquences de Hahn Banach (la caractérisation des sous espaces denses par les formes linéaires), puis ils m'ont rappelé qu'on était dans un Hilbert et j'ai fait la démo normale.

    J'ai eu des questions un peu bizarre, genre pourquoi $\hat{f}=0 \Rightarrow f=0$, alors que j'avais dit trois fois qu'à cet endroit là j'utilisais l'injectivité de la transformée de Fourier. Aussi dans le développement on se place sur un intervalle $I$ et ensuite on se ramène à une fonction sur $\mathbb{R}$, et ils m'ont demandé à quoi servait l'intervalle $I$, pas trop compris...

    Questions sur le plan :
    -Pourquoi j'ai rayé le Lemme du Riemann-Lebesgue dans mon plan? Parce que je me suis rendu compte que je l'avais déjà mis avant sous une autre forme héhé
    -Pourquoi si $f,g\in L^1$ alors $f \star g \in L^1$. Meme chose avec $f\in L^p, g\in L^q$
    -Vous avez dit qu'on a pas besoin de la convergence dominé pour montrer le théorème d'analycité sous l'intégrale, pourquoi? Parce que voilà : paf recasage de la démo que j'avais relu 5mn avant (cf Faraut, si je me trompe pas c'est juste un théorème moins fort d'interversion de somme et d'intégrale). Hmm oui mais non, alors comment on caractérise une fonction analytique en terme de différentielle? Ben comme ça. Bon ok. Fin de la question
    -Qu'est ce qu'il se passe dans le théorème de continuité si on intègre sur un segment? Ben ça marche tout le temps pour peu que la fonction soit continue en les deux variables

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un des membres du Jury avait l'air de comprendre tout ce que je disais, du coup quand les autres comprenaient pas une démonstration ils lui demandaient "tu as compris?" il disait oui et on passait à autre chose, c'était un peu le boss final de l'oral. Un autre m'a un peu énervé (le prof de prépa je pense) parce qu'il posait mal ses questions et je comprenais pas ce qu'il voulait dire... Par exemple à un moment dans mon plan je parlais du lien entre la fonction gamma et la surface d'une sphère, et donc j'introduit une mesure (cf Faraut) définie en fonction de la mesure de Lebesgue (pour info, si $\lambda$ est la mesure de lebesgue, la nouvelle mesure c'est $ \sigma(E)=\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\epsilon}\lambda(\{ru | u\in E, 1 \leq r \leq 1+\epsilon\})$). Je sais pas ce qu'il a pas aimé la dedans, mais il trouvait cette mesure bizarre (alors que le boss avait l'air d'accord avec ce que je disais) et il m'a parlé de ça pendant longtemps, ça a un peu cassé le rythme de l'oral.

    Quand le boss a enfin pu me poser des questions il avait l'air très content, il souriait et je l'ai même fait rigoler. Jury plutot agréable dans l'ensemble, à aucun moment ils n'ont cherché à me déstabiliser ou à me piéger.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :