Développement : Fonctions caractéristiques et moments

Détails/Enoncé :

Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On note $\varphi_X$ sa fonction caractéristique.

Si $X$ admet un moment d'ordre $n$, $\varphi_X$ est $C^n$ et pour tout $k \in [1, n]$ , on a pour tout $t \in \mathbb{R}$, $\varphi_X^{(k)}(t) = i^k \int_{\Omega} X^k \exp(itX) dP$. En particulier $\varphi_X^{(k)}(0) = i^k E[X^k]$.

Si $\varphi_X$ est $k$ fois dérivable en $0$, avec $k \ge 2$, alors $X$ admet des moments jusqu'à l'ordre $2 E(k/2)$ ,où $E(k/2)$ est la partie entière, données par $\mathbb{E} [X^j] = (-1)^j \varphi_X^{(j)} (0)$.

Recasages pour l'année 2026 :

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    C'est un de mes développements préférés. (Au risque de me répéter il ne faut pas avoir peur des probas) Comme un con j'ai oublié le noter dans le fichier mais je le recase en 218, 228, 234 et 239. Si vous le prenez, je pense qu'il faut s'attendre à ce que le jury parte sur la voie de "dans quelle mesure une var. aléatoire est-elle caractérisée par ses moments ?". Ah oui et le contre exemple est un développement à lui tout seul donc il faut éventuellement mme connaître et avoir une petite idée de la preuve mais ce n'est pas trivial.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probabilités 2 , Ouvrard (utilisée dans 59 versions au total)
Probabilités, Barbe-Ledoux (utilisée dans 41 versions au total)