Fonctions caractéristiques et moments

C'est un de mes développements préférés. (Au risque de me répéter il ne faut pas avoir peur des probas) Comme un con j'ai oublié le noter dans le fichier mais je le recase en 218, 228, 234 et 239. Si vous le prenez, je pense qu'il faut s'attendre à ce que le jury parte sur la voie de "dans quelle mesure une var. aléatoire est-elle caractérisée par ses moments ?". Ah oui et le contre exemple est un développement à lui tout seul donc il faut éventuellement mme connaître et avoir une petite idée de la preuve mais ce n'est pas trivial.

Lemme de Borel-Cantelli & Application aux nombres premiers

Développement très sympa qui n'est pas trop difficile.

Limite de variables aléatoires gaussiennes

Ce développement est difficile mais il est très intéressant et surtout il se fait bien en 15 minutes. Niveau repassage je le mettais en 223 et en 262.

Étude de la loi Gamma

Faites bien attention qu'il y a une puissance complexe donc vous avez besoin de prendre une détermination(la principale va très bien).

Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente

Développement technique mais qui est tellement naturel dans la leçon sur les séries de Fourier qu'il vaut vraiment le coup. Pour les repassages je pense 208, 246, 205 et éventuellement 228. Attentions aux coquilles et si vous avez des questions vous pouvez toujours m'envoyer un mail.

Extrema liés et maximisation du déterminant de Vandermonde sur la boule unité.

J'aime bien ce développement il n'est pas trop compliqué. Si vous le prenez il faut absolument que vous sachiez déterminer explicitement ce maximum au moins en dimension 2 c'est rigolo à faire. Je n'ai pas de référence pour la preuve des extrema liés. Attention aux coquilles qui peuvent rester.

Formules de Poisson et Shannon

Je fais le cas Schwartz et le cas L2 suivant la leçon ça peut être bien de faire l'une ou l'autre.
Toutes les refs sont dans le document. Attention aux coquilles.

Théorème d'Artin (fonction Gamma)

J'aime bien cette preuve !! La reférence est dans le document. Attention aux coquilles.

Fonctions strictement monotones

Ça rentre bien en 15 minutes et ce n'est pas trop difficile. Attention à bien justifier la première partie. Le Gourdon va un peu vite. Attention aux coquilles.

Nombres de Bell

Dans la 190 je mettais l'argument que vous avez en annexe il fait plus combinatoire. Attention aux coquilles.

Développement asymptotique de la série harmonique

Dev. classique. Attention il y a une petite erreur dans le bouquin. La reférence est dans le document. Attention aux coquilles.

Théorème de Fourier Plancherel

Celui là je l'aime beaucoup. Au début de l'année je faisais avec le Rudin mais c'était affreux et bcp trop long. Là tout s'enchaîne très bien. Attention aux coquilles.

Théorème de Banach-Alaoglu

Cette version est un peu brouillonne je trouve et ce dev. n'est même pas trop satisfaisant finalement.

Intégrale de Dirichlet

J'en propose deux en fonction de la leçon. Attention aux coquilles.

Théorème de projection sur un convexe fermé

Développement sympa qui se recase et qui n'est pas trop difficile. Attention aux coquilles.

Théorème chinois et applications

Développement pas trop difficile qui se recase pas trop trop mal. Je devais quand même y aller très doucement pour que ça tienne 15 minutes. Attention aux coquilles.

Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.

Tout est dans le Appel ! Il suffit de le suivre. Pour l'indépendance j'ai choisi de ne pas parler de tribu engendrée. C'est un choix personnel, je pense que les deux approches peuvent se défendre devant le jury. Leçon sur laquelle je suis passé pendant l'année. Le plan a été validé par un professeur. Après réflexion, on peut se passer du Hauchecorne, les contres exemples sont aussi dans le Appel.

Au début de l'année, j'avais peur des probas. Je les ai énormément travaillé pendant l'année et ça a payé ! N'ayez pas peur des probas.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Dans les leçons de probas, c'est celle que j'ai eu le plus de mal à faire. Il faut bien se souvenir qu'une var. aléatoire discrète est à valeur dans un espace discret !! Oui c'est dans le nom mais c'est important !

Pour mon premier développement j'ai aussi enlevé Galton Watson parce que le jury en avait marre. Finalement j'ai mis la marche aléatoire sur Z.

J'ai beaucoup de références, je pense qu'on peut faire moins. Pas mon meilleur plan mais si ça peut donner des idées.


Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

Je suis tombé sur cette leçon le jour J !! (Voir mon retour d'oral)
J'étais déjà passé dessus aux oraux blancs de décembre et j'ai fait exactement le même plan sauf pour la partie Théorème limites. C'est une leçon que j'ai fait au début de l'année c'est pour ça qu'il manque les références dans le plan mais ce n'est pas compliqué : J'utilise le Ouvrard 2 pour tous les théorèmes de Convergence et le Appel pour les théorèmes limites. Pour les développements, Le Bernis pour le premier et 131 dev. pour le deuxième.

Au début de l'année, j'avais peur des probas. Je les aies énormément travaillé pendant l'année et ça a payé ! N'ayez pas peur des probas

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Je suis passé sur cette leçon durant l'année. Le plan a été validé par un professeur.

Au début de l'année, j'avais peur des probas. Je les aies énormément travaillé pendant l'année et ça a payé ! N'ayez pas peur des probas !!

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Mon plan est hyper classique sauf peut-être les moindres carrés. Vous n'êtes pas du tout obligés d'en parler. Je le faisais uniquement parce que c'est quelque chose que je maîtrisais bien.
Si j'étais tombé dessus le jour J , j'aurais probablement amélioré la partie inégalités de convexité. Je l'aurais changé de place aussi. Le tout est de savoir défendre son approche devant le jury !!

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Transformation de Fourier. Applications.

De tous les plans que j'ai fait, c'est mon préféré. J'adore cette théorie. Je suis passé dessus pendant l'année et le plan a été validé. J'ai construit la leçon (et les 6 minutes aussi) comme l'idée qu'on veut généralisé les séries de Fourier mais pour des fonctions qui ne sont plus périodiques. Je commençais mes 6 minutes avec un petit calcul informel que vous trouvez dans le Dym. Cela amène à se poser les questions de quand est-ce qu'on peut définir la transformée d'une fonction et quand a-t-on le droit d'inverser ? On le fait dans 3 cadres (ceux du rapport on invente rien ) : S(R), L1 et L2. Le choix de commencer par L1 ou par S(R) est personnel. Le premier suit l'histoire, mais l'autre (Mon choix perso) a une approche plus pédagogique. On va de la classe ou tout va bien marcher à savoir bien défini et inversion à la classe L2 où tout est à faire. Ensuite pour chaque classe de fonctions, j'intègre l'application à la théorie du signal et la formule de Poisson. Pour Shannon, le rapport demande explicitement l'interprétation L2 que vous trouvez dans le El Amrani. Il faut absolument Mettre le petit principe d'incertitude. Cela montre que l'on a compris les limites de la théorie.

Enfin, on termine par un dernier cadre, celui des probas qui donne encore une application puisque la fonction caractéristique n'est rien d'autre qu'une transformée de Fourier et qu'elle caractérise la loi !!

Références qui ne sont pas sur agrag-maths :

Antoine Chambert-Loir : Théorie du signal
Laurent Schwartz : Analyse tome 4


Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Séries de Fourier. Exemples et applications.

Là aussi j'adore cette leçon. Je suis aussi passé dessus pendant l'année le plan, a été validé. Il y a deux choses que je voudrais changer dans ce plan : la première c'est qu'il manque le calcul des coefficients de la dérivée et la deuxième je supprimerais la proposition 19.

ref qui ne sont pas sur agreg-maths :

SCH IV : Laurent Schwartz Analyse Tome 4
CHAM : Antoine chamberloir, théorie du signal

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Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Au final j'ai changé mon deuxième développement, j'ai recasé ma marche aléatoire dans la partie probas.
Mon plan est classique j'ai suivi ce que dit le rapport. Presque tout est dans le El Amrani.

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Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples

Plan hyper classique ; beaucoup de similitudes avec les intégrales à paramètres en rajoutant simplement la convergence uniforme.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Si je devais réécrire ce plan, je rajouterai une sous partie Intégration dans la partie régularité avec les théorèmes de Fubini. Et j'enlèverai la partie sur l'intégrale de Fourier. Pour ce qui est convolution et ransformée de Fourier, il suffit de faire un copier collé de ce que j'ai dans la 250. Les références sont donc changées aussi avec donc le Laurent Schwartz analyse 4 pour la convolution.
Je suis passé dessus pendant l'année plan validé modulo les deux changements que j'ai donné au début.

Ref qui ne sont pas sur agreg-maths :

SCH IV : Laurent Schwartz analyse 4.
Oraux X-ENS tome 5(nouvelle édition). (Pour le développement 1)

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Problèmes d’interversion de symboles en analyse.

Je suis passé dessus pendant l'année. D'abord, j'enlèverai la toute dernière partie sur l'intégration terme à terme qui n'est rien d'autre qu'une redite des théorèmes de Fubini. Ensuite il faut rajouter des exemples.

Pour la présentation du plan, il faut bien se souvenir qu'une interversion en analyse fait intervenir un passage à la limite et c'est ça qui est "difficile". Pour ceux que ça intéresse j'avais commencé par citer l'erreur de Cauchy dans son cours de 1821 pour motiver le fait qu'il y a une vraie difficulté dans l'interversion de symbole.

Sinon toute la première partie se trouve dans le El Amrani et après vous avez le Faraut.

Ma référence pour les théorèmes de Fubini (Je trouve que c'est là qu'ils sont le mieux écrits): Laurent Schwartz analyse tome 3 (à la place du Garet Kurtzman donc)

Pour mon deuxième dev. la ref c'est finalement 131 devs.

Ref qui n'est pas sur agreg-maths :
Oraux X-ens Tome 5 (Nouvelle édition)

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Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Plan que j'ai fait au tout début de l'année et sur lequel je suis passé. Il y pas mal de choses à reprendre mais ça peut donner une idée de la trame générale. Je ne changerai pas mon méta-plan en revanche ça manque cruellement d'exemples. Je reprendrai complètement la fin sur le transformée de Fourier en incluant des parties de ma 250.

Pour les reférences je commence avec le Herbin pour la construction de l'intégrale, ensuite le Faraut pour TCVD et th. de Fatou ainsi que pour les th. fondamentaux et ensuite le Ouv. 2 pour mon dev1. Pour la partie sur la convolution je copie colle celle qui est dans ma 250 que je trouve dans le SCH IV. et enfin le Dym pour la transformée de Fourier.

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Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Beaucoup de gens n'aiment pas cette leçon. Perso j'aime bien les dev. asymptotique. Si vous êtes comme moi friand de théorie analytique des nombres, vous pouvez vous éclater !!
La partie théorie analytique des nombres n'est pas du tout obligatoire et si vous n'en avez pas fait avant l'année d'agrégation ça me semble très difficile de s'y mettre. Une leçon d'exemples c'est toujours difficile parce que vous devez savoir démontrer tout ce qu'il y a dans votre plan. Cependant J'ai fait cette leçon en regroupant les exemples par thèmes et techniques ce qui fait que on retrouve bien la preuve des exemples.

Mon dev. 2 n'est pas encadré : je faisais le dev. Asymptotique de l'indicatrice d'Euler donc l'exemple 31.

Bonne chance aux algébristes :)

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Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications

J'aime bien mon plan, il est simple et efficace. Je l'ai fait au début de l'année donc il faut reprendre des choses. D'abord, aux endroits où il y a marqué [ROH], j'utilise finalement le EL Amrani.

Le dev 1 se justifie par le fait qu'on montre la convergence de deux suites réelles.

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Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Plan que j'ai fait au début de l'année donc je changerais quelques trucs mais bon l'essentiel y est ! Au final je n'utilise pas le Deschamps comme le laisse penser le plan mais j'utilise le El Amrani. À la fin de l'année j'ai changé mon deuxième développement qui était beaucoup trop long. À la place je mettais les nombres de Bell. Et en ajout je pense que je rajouterai au moins quelques exemples de calculs de somme de séries par exemple en faisant intervenir les séries de Fourier.


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Formules de Taylor. Exemples et applications.

J'ai très vite abandonné mon premier développement qui est inutilement trop compliqué et trop chronophage pour ce concours. À la place je donnais un dev asymptotique du reste des sommes de Riemann. Du reste mon plan est classique. On voit encore l'immense pouvoir de recasage des probas !!! Je pense que dans cette leçon il faut vraiment mettre des exemples et peut-être que j'en ai pas mis assez.

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Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

À la place du dev. sur le lemme de Morse je mettais le dev des fonctions strictement monotones.
Je pense qu'il ne faut pas faire l'impasse sur cette leçon. Il y a de quoi remplir la leçon tout en restant dans des notions de bases. Probablement à faire avant les écrits on ne sait jamais.

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Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

Mon plan est très très court et je pense que ça aurait poser problème si jamais j'étais tombé dessus le jour j. Comme bcp je n'aime pas trop cette leçon surtout que trouver des exemples simples qui ne sont pas des exos complets est un peu compliqué. À la place du lemme de Morse en dev. je mettais fonctions strictement monotones.
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Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Mon plan est très (trop dense). SI j'étais tombé dessus le jour J j'aurais probablement élagué des trucs. Déjà j'aurais enlever Hahn-Banach qui de toutes les façons n'est pas à la bonne place.

Je suis passé dessus en leçon pendant l'année le plan a été validé. Niveau dev., c'est deux dev. de bon niveau qui me demandais pas mal de boulot. Si vous passez sur Banach-Steinhaus, il faut absolument avoir en tête des applications plus simple du théorème de Baire.

Pour les refs., c'est une leçon que j'ai fait au début de l'année et je n'avais pas encore pris l'habitude de mettre les refs. sur mes plans mais voici les grandes lignes.

Je faisais la première partie par coeur parce que je n'ai jamais trouvé un bouquin élémentaire qui fasse ça.
Ensuite pour la théorie élémentaire des opérateurs j'utilisais le SCH. Ensuite le Rombaldi pour la dimension finie et le Daniel Li pour les espaces de Banach.

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Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Mon plan est un peu court mais pas trop non plus. Dans cette leçon on peut vraiment décider de quoi on veut parler suivant nos point fort c'est pour ça que j'ai mis les moindres carrés mais ce n'est pas du tout obligé. Le point clé c'est souvent de se souvenir que pour avoir existence il nous faut de la compacité et pour avoir unicité il nous faut de la convexité.
Pour le dev. 1 finalement je n'avais pas le temps de démontrer Riesz donc je le laissais simplement en corollaire mais il faut savoir le démontrer.

À la fin de l'année j'ai eu d'autres idées pour cette leçon mais je n'avais plus le temps de les reprendre mais allez farfouiller un peu partout il y a plein plein de choses à faire.

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Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

J'ai un peu bâclé mon plan à la fin... C'est pas mon meilleur plan mais l'idée générale y est. Niveau dev. je ne faisais finalement plus Galton Watson car le jury en a marre donc je mettais mes fonctions strictement monotones.

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Corps finis. Applications.

J'adore cette leçon et j'adore mon plan sauf que j'inverserais ma partie 2 et ma partie 3.
Je suis passé dessus pendant l'année et le plan a été validé.

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Extensions de corps. Exemples et applications

J'aime bien mon plan, il est efficace. J'adore les corps.

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Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

J'aime bien cette leçon elle se fait hyper facilement une fois qu'on a fait les leçons sur les corps.

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Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Mon plan n'a rien d'original mais il fonctionne bien je crois.

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Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

C'est le premier plan que j'ai fait et je suis passé dessus pendant l'année. Il y a énormément de coquilles donc il faut faire attention mais disons que la trame générale fonctionne quand même. je le met quand même si ça vous aide. et c'est bien la 148 ne vous en faites pas ! À la fin de l'année j'ai enlevé la dimension du commutant il se recasait mal à la place je mettais la réduction des nilpotents par dualité !

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Déterminant. Exemples et applications.

J'ai eu du mal à faire cette leçon mais je suis plutôt content du résultat final. Je suis resté dans les notions classiques mais tous les incontournables sont là.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Mes dev. ne sont pas encadrés mais je faisais réduction des nilpotents et réduction des endomorphismes normaux. Ce n'est pas idéal mais je ne voulais pas reprendre un autre dev. Du reste mon plan est très classique.

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Endomorphismes diagonalisables en dimension finie

Rien de particulier à dire.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

J'ai détesté cette leçon et je ne suis pas certain que mon plan soit vraiment dans la philosophie du jury mais j'ai fait ce que je pouvais. restez prudent et bonne chance.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.