Développement : Théorème de Banach-Alaoglu

Détails/Enoncé :

Cas d'un espace séparable : Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé séparable, et $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$, bornée pour la norme subordonnée. Alors il existe une extractrice $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ et $T$ élément de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$ telle que pour tout $x\in E$, $$\lim_{k\to +\infty} T_{\varphi(k)}(x)=T(x).$$
Cas d'un espace de Hilbert : Soit $\left(H,\langle \cdot , \cdot\rangle\right)$ un espace de Hilbert, et $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite bornée d'éléments de $H$. Alors il existe une suite extraite de $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui converge faiblement dans $H$.

Recasages pour l'année 2026 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Cette version est un peu brouillonne je trouve et ce dev. n'est même pas trop satisfaisant finalement.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 173 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses, F. Hirsch, G. Lacombe (utilisée dans 119 versions au total)