Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J:= Jury. L:= Moi. L'ordre et l'énoncé des questions posées est approximatif. Le retour qui suit rend mal compte de la bienveillance du jury, qui est très souriant et encourageant dans ses questions.
J: Il me semble que vous n'avez pas totalement démontré la caractérisation du projeté que vous énoncez dans votre plan...\\
L: Oh non pardon ! J'ai oublié la réciproque...\\
J: Ce n'est pas grave, vous pouvez nous expliquer rapidement comment vous auriez fait ? \\
L: En développant les égalités de polarisation, et avec les inégalités sur les distances. \\
J: Quelles inégalités ? \\
L: Si $x_C$ est le projeté de $x$ sur $C$, $\forall z \in C, \vert x-z \vert \geq \vert x-c \vert$\\
J: Vous pouvez montrer que, dans un espace de Hilbert, si $F$ est un sev fermé , $F^{\perp}$ est fermé ?\\
L: Oui. C'est la caractérisation séquentielle de la fermeture, et la continuité de x ---> pour tout y
J: D'où vient cette continuité ?\\
L: \emph{Je beugue un peu en parlant d’égalités de polarisation au début mais je finis par trouver : } C’est Cauchy Schwarz qui nous assure que c'est une application lipschitzienne. \\
J: Si $F$ est un sev fermé de H, que dire des orthogonaux successifs de $F$?\\
L: euuuh… les orthogonaux successifs ? \emph{ À ce moment là je pense à des histoires de noyaux itérés, je m'imagine qu'on considère implicitement une suite de sevs}\\
J: Le biorthogonal de F, disons. \\
L: Ah, c’est F lui même. C'est encore une conséquence de la projection sur un convexe fermé. \\
J: Ok, on va passer aux questions sur le plan. Vous pouvez relire votre définition numéro X d'une application contractante ? \\
L: Oh non, désolée, j'ai oublié l'hypothèse la plus importante : evidemment $k<1$...\\
J: Et pour votre exemple Y, la complétude des $L^p$, il y aussi une coquille...\\
L: Euh... c'est pas le bon L ? \\
J: Relisez bien. \\
L: Ah ! C'est $p \in [1, + \infty[$, et surtout pas $ ]0, + \infty[$ ! Pardon ! \\
\emph{Je m'en veux encore de ces erreurs. Une simple relecture du plan à la fin des 3h aurait suffit à les éviter.}\\
J: Vous avez un exemple de normes qui ne sont pas équivalentes en dim infinie? \\
L: Oui, sur $C^0([0,1])$, on considère la norme $\norme{.}_{\infty}$ et la norme $\norme{.}_1.$ Elles ne définissent pas la même topologie car $(C^0([0,1]), \norme{.}_{\infty})$ est complet et $(C^0([0,1]), \norme{.}_{1})$ non. \\
J: Est-ce qu’on a quand même un sens ?\\
L: La norme norme $\norme{.}_1.$ est lipschitzienne par rapport à la norme $\norme{.}_{\infty}$. \\
J: Quelle est la constante? \\
L: \emph{J'ai besoin de l'écrire pour le voir, mais dès que je pose mon feutre sur le tableau, ça devient évident} Elle est 1-Lipschitzienne.\\
J: Vous avez un exemple concret de boule unité qui n’est pas compacte en dimension infinie ? \\
L: Euh bah par Riesz n'importe quel espace normé de dimension infini fonctionne donc par exemple… \emph{Je m'apprête à sortir le premier exemple d'evn de dimension infinie que je connais, mais on m'arrête.}\\
J: Un exemple précis? Disons de sphère unité qui ne soit pas compacte ? Sans utiliser Riesz.\\
L: Je vais prendre l'espace des fonctions continues… Non on va faire plus simple, je prends les polynômes, $\mathbb{R}[X]$… Je ne sais pas si j'essaie de contredir Borel-Lebesgue ou Bolzano-Weierstrass... Je vais essayer Borel-Lebesgue, je cherche un recouvrem-\\
J: On va contredir Bolzano-Weierstrass.\\
L:; Ok, donc je prend la norme sup sur les coefficients, $\norme{\sum a_k X^k}=max(\vert a_k \vert )$. Je cherche une suite de la sphère unité qui n’a pas de valeur d'adhérence dans la sphère unité. \\
J: Quelle est la suite la plus simple que vous puissiez imaginer ? \\
L: La suite des $X^n$. Elle ne peut pas avoir de valeur d’adhérence car si $P$ est un polynôme et de degré $d$ et que $n > d$… \\
J: prenez $P=X^d$\\
L: Si $n \neq d$ alors $\norme{X^n - X^d}=1$\\
J: Maintenant, on va passer aux exercices. On se place toujours dans $\mathbb{R}[X]$ muni de la norme sup $\norme{.}$ que vous venez de définir. Soit $a \in \mathbb{R}$, soit l’application linéaire $f_a: P \rightarrow P(a)$ est-elle continue ? \\
\emph{ Au début j'étais persuadée que la réponse était "non" quel que soit le réel $a$. J’ai commencé à chercher une suite de polynômes telle que $\norme{P_n}$ tende vers 0 mais telle que $P_n(a)$ reste constant, sans m'en sortir. Le jury a fini par gentiment me pousser vers le caractère lipschitzien de ma fonction évaluation. En cherchant à majorer $P(a)$ j’ai alors vite compris ce que je devais faire pour conclure : une disjonction de cas en fonction de si $|a| < 1$ ou si $|a| \geq 1$, car si $P$ est un polynôme de degré $n$, alors $\vert P(a) \vert \leq (\sum_{0}^{n} \vert a \vert^k)$: on va donc avoir besoin d'étudier la série $\sum \vert a \vert^k$ pour se débarrasser de la dépendance en $n$. Si $\vert a \vert <1$ la série converge et on a notre constante de Lipschitz. Sinon, on trouve un contre exemple. J'ai posé la suite $P_n= \sum_0^n X^{2n}$ de sorte à avoir les $P_n(a)$ positifs. La suite des $\frac{f_a(P_n)}{\norme{P_n}})$ tend vers l'infini, donc $f_a$ n'est pas lipschitzienne donc pas continue.}\\
J: Et le cas $|a|=1$?\\
L: C’est comme pour $|a|> 1$ \emph{(Dans le deuxième cas de ma disjonction, j’avais écrit au tableau une inégalité stricte là où elle aurait pu être large)}\\
J: D'accord, deuxième exercice. On va montrer une généralisation de votre proposition W \emph{[La proposition en question : si $E$ est un espace de Banach, si $u \in L(E)$ vérifie $\vert \vert \vert u \vert \vert \vert < 1$ alors $(Id-u)^{-1}=\sum u^n$}]. On se place à nouveau dans $E$ un Banach. Montrez que si $u : E \rightarrow E $ est contractante (mais pas forcément linéaire) $Id-u$ est un homéomorphisme.\\
L: \emph{[Terrifiée à l'idée de me mélanger les pinceaux sur la définition d'homéomorphisme]} On veut donc montrer que $Id - u$ est bijective , continue , de réciproque continue. La première chose à laquelle je pense, c'est au théorème d'inversion locale...mais évidemment on ne peut pas utiliser ça ici, on est dans un espace de Banach quelconque, on ne peut pas du tout parler de différentiabilité... euh... je vais commencer par la bijectivité, la continuité on verra ensuite... \\
J: Vous ne pouvez pas faire ça maintenant ? \\
L: Si bien sûr : $Id-u$ est une somme de deux fonctions continues.\\
J: Bien, on continue.\\
\emph{Là,j'ai essayé d’étudier la série $\sum u^k$ sur la sphère unité car je voulais retrouver le même genre d’argument que dans ma proposition W. Mais sans la linéarité, ça ne marche pas du tout. Le jury me pousse à nouveau dans la bonne direction}\\
J: $u$ est contractante que pouvez-vous en déduire ?\\
L: Ah! $u$ admet un unique point fixe $x$. \emph{(Quelques secondes de bidouille d’égalités plus tard)}. Cet unique point fixe c'est l’image réciproque de 0 par $Id-u$. On voudrait faire ça pour tout le monde, pas juste pour 0.\\
\emph{Illumination : ça y est, je sais pourquoi j'ai pensé au théorème d'inversion locale en voyant l'énoncé ! Il faut utiliser le même genre d'astuce que dans la preuve du dit théorème ! Pour tout $y \in E$ je pose une fonction $F_y$ pour transformer le problème d'inversion $u(z) = y$ en un problème de point fixe $F_y(z) = z$. J'arrive très vite à poser la bonne fonction et à montrer qu'elle est contractante.}\\
L: Maintenant, montrons que cet inverse est continu. On va montrer qu'il est lipschitzien. \\
\emph{Là, ça a été beaucoup plus long que nécessaire : j'ai pris trop de temps à bien poser mes variables, et j'ai fait des erreurs de signe une ligne sur deux. Je finis pas montrer que, quand $u$ est $k$-contractante, $Id-u$ est $1-k$-lipschitzienne. Le jury m'empêche de me prendre les pieds dans mes erreurs de calcul, mais je suis déçue d'en avoir fait autant.}\\
J: Très bien, je vous pose un un dernier exercice qu’on aura pas le temps de finir. Montrez que si $f \in L(E)$ \emph{(je ne suis même plus sûre que $f$ était linéaire en fait)}, $f$ est continue si et seulement si $A= {x \in E, ||f(x)||=1} $ est fermé. \\
\emph{Je prouve le sens direct. Aucune difficulté, c'est juste dire que l'image réciproque d'un fermé par une application continue est continue.}\\
J: On n'a pas le temps pour la réciproque. C'est terminé.\\
