(2022 : 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.)
Cette leçon est particulièrement vaste, et sera pour le candidat une occasion de faire des choix. Il est inutile de commencer systématiquement le plan de cette leçon par de longs rappels sur les normes : comme toutes les autres, cette leçon ne doit pas tomber dans le formalisme, mais bien proposer des résultats significatifs illustrés par des exemples bien choisis, en particulier de normes équivalentes ou non, ou de calculs de normes subordonnées. En ce qui concerne le contenu, le programme offre de nombreuses possibilités : cas de la dimension finie, intervention de la complétude (en particulier le cas hilbertien), étude de la compacité de la boule unité fermée, lien entre continuité d'une forme linéaire (ou plus généralement, d'une application linéaire de rang fini) et fermeture du noyau. Pour les candidats solides, des prolongements possibles sont : les conséquences du théorème de Baire dans le cadre des espaces de Banach (tout particulièrement le théorème de Banach-Steinhaus et son utilisation pour construire des objets pathologiques), le théorème de Hahn-Banach et ses conséquences, la théorie de algèbres de Banach, la détermination de duals topologiques.
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Voici la proposition de plan faite :
I - Généralités.
A/ Normes équivalentes. [G]
B/ Applications linéaires continues. [G]
II - Le cas de la dimension finie : équivalence des normes.
A/ Théorème d'équivalence des normes. [G]
B/ Les normes matricielles : applications à l'analyse numérique. [ALL]
III - Le cas de la dimension infinie : les espaces de Banach et de Hilbert.
A/ Les espaces de Banach. [G]
B/ Les espaces de Hilbert. [HIR]
Au départ, quelques questions sur mon développement :
Q : Pour montrer le théorème de projection sur un convexe fermé vous utilisez le fait que $H$ est complet, peut-on diminuer un peu les hypothèses ?
R : Oui, il suffit de considérer seulement un convexe fermé non vide complet et la preuve marche pareil.
Q : Pouvez-vous détailler que c'est une bijection (L'application $z' \mapsto y + \overline{\lambda}z'$ du Hirsch-Lacombe).
R : Il suffit d'écrire explicitement l'inverse.
Q : Pouvez-vous détailler comment passer de $\forall \lambda \in \mathbb{C}^*,~\forall z'\in F$, $\text{Re}(\lambda\langle x-y, z\rangle) \geq 0$ à $x-y\in F^\perp$ ?
R : Il faut prendre $\lambda$ dans $\mathbb{R}_*^{+}$ puis $\mathbb{R}_*^{-}$ pour montrer que la partie réelle est nulle puis prendre $\lambda$ dans $i\mathbb{R}_*^{+}$ et $i\mathbb{R}_*^{-}$ pour montrer que la partie imaginaire est nulle et trouver le résultat.
Ensuite, j'ai eu des questions sur le plan et des exercices :
Q : Montrer que si $F$ est un sev de $H$ hilbert alors $F^\perp$ est fermé.
R : Soit $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $F^\perp$ tendant vers $x$. Montrons que $x\in F^\perp$. Soit $y\in F$, $\langle x,y\rangle = \langle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n,y\rangle = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\langle x_n,y\rangle = 0$ par continuité de l'application $x\mapsto \langle x,y\rangle$ (Elle est linéaire et par Cauchy-Schwarz 1-Lipschitz) d'où le résultat.
Q : Montrer maintenant que $\overline{F}^\perp = F^\perp$.
R : Comme $F \subset \overline{F}$ on a donc $\overline{F}^\perp \subset F^\perp$, montrons l'inclusion inverse. Soit $x\in F^\perp$ et $y\in\overline{F}$ alors il existe $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $F$ convergeant vers $y$ et alors $\langle x,y\rangle = \langle x,\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} y_n\rangle = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\langle x,y_n\rangle = 0$ par continuité de $y\mapsto \langle x,y\rangle$ d'où le résultat.
Q : Dans votre plan vous mettez comme corollaire du théorème de Riesz que $\overline{B_{\mathbb{R}[X]}(0,1)}$ n'est pas compacte, pouvez-vous le montrer à la main ? Et pour quelle norme ?
R : Je considère alors la norme infinie pour les polynômes ($||\sum\limits_{i\in I} a_iX^i||_\infty = \max\limits_{i\in I} |a_i|$) et je cherche une suite d'éléments de la boule n'ayant pas de sous-suite convergente. Je prends la suite $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$ et je suppose qu'il existe une sous-suite convergente, en particulier elle est donc de Cauchy donc en écrivant la définition d'une suite de Cauchy on a une absurdité car : $\forall \epsilon > 0,~\exists n_0\in\mathbb{N},~\forall n,m\geq n_0,~1 = ||X^{\varphi(n)}-X^{\varphi(m)}||_\infty < \epsilon$.
Q : Quel isomorphisme nous permet d'écrire le théorème de représentation de Riesz ?
R : Le fait que $H$ est isomorphe à son dual $H^*$ via $y \mapsto \langle \cdot,y\rangle$.
Q : Et que peut-on dire de ceci pour les Banach en général ?
R : C'est faux.
Q : Et que considère-t-on dans ce cas ?
R : Le bidual.
Q : Comment s'appelle les espaces isomorphes à leur bidual ?
R : Les espaces réflexifs.
Q : Pouvez-vous détailler pourquoi l'exponentielle matricielle est bien définie ? (Je l'avais mis dans le plan)
R : J'utilise une propriété des Banachs, une suite absolument convergente converge donc il suffit de montrer qu'elle est absolument convergente, je munis $M_n(\mathbb{R})$ d'une norme subordonnée, c'est une norme d'algèbre et donc : $\frac{|||M^n|||}{n!} \leq \frac{|||M|||^n}{n!}$ et la deuxième converge d'où le résultat.
Q : Pouvez-vous détailler pourquoi $P\mapsto P'$ n'est pas continue pour la norme infinie de $\mathbb{R}[X]$ ?
R : Encore une fois considérer la suite $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$, la norme de la dérivée tend vers $+\infty$ alors que sa norme vaut toujours 1 c'est absurde si elle était continue.
Q : Cherchons alors une norme pour la rendre continue.
R : J'ai déjà dit qu'elle était linéaire donc il suffit de trouver une norme pour lequel l'application est de Lispchitz. J'essaie quelques normes sur $\mathbb{R}[X]$ mais cela ne marche pas.
Q : Montrons que la constante de Lipschitz est 1 et considérez alors la norme $N(P) = \sum\limits_{k\in\mathbb{N}} |P^{(k)}(0)|$, pouvez-vous détailler pourquoi est-ce une norme ?
R : Le seul point délicat est l'équivalence $N(P) = 0 \Longleftrightarrow P = 0$, il faut écrire la somme nulle, c'est une somme (finie car c'est un polynôme) de termes positifs nulle, ils sont tous nuls et par la formule de Taylor pour les polynômes on trouve le résultat. Et alors $N(P') \leq N(P)$ d'où la continuité de l'application.
Q : Montrer que les compacts en dimension infinie sont d'intérieur vide.
R : Je réfléchis un peu et un jury me demande alors :
Q : Déjà en dimension finie qu'est-ce que vous pouvez dire ?
R : Je réfléchis jusqu'à considérer une boule fermée qui n'est évidemment pas d'intérieur vide. Je suppose par l'absurde qu'un compact en dimension infinie n'est pas d'intérieur vide, quitte à diminuer la boule on peut supposer qu'il contient une boule fermée. Mais un fermé d'un compact étant compact la boule est compacte mais donc par le théorème de Riesz, l'espace est de dimension finie c'est absurde.
L'oral s'est ensuite fini.
Le jury était très bienveillant et souriant, ils m'aidaient lorsque je ne voyais pas comment faire.
L'oral s'est passé comme je l'avais imaginé, le jury et les appariteurs permettent de faire en sorte de diminuer le plus possible notre stress pendant les épreuves et c'est vraiment très appréciable.
18.25
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Un deuxième développement hors sujet, bien que ce soit une application de l'isométrie de Plancherel qui est le prolongement d'une application linéaire continue. Des questions autours du développements et de mon Lemme qui portait sur la caractérisation des espaces vectoriels normés complet par les séries, on m'a demandé des détails sur la construction d'une sous suite. J'ai eu des questions basiques sur les espaces L^p .
Le jury m'a demandé une esquisse de preuve de l'équivalence des normes et de la continuité des applications linéaires continues en dimension finies et un exercice sur des applications linéaires non continues en dimension infini. On m'a demandé ce que voulait dire l'équivalence des normes d'un point de vue géométrique. Et des questions sur les espaces de Hilbert ainsi qu'un exercice auxquels j'ai su répondre bien que je ne parlais pas des Hilbert dans mon plan.
Un jury plutôt bienveillant et qui n'hésite pas à donner des indications lorsque l'on bloque.
J'étais très content de mon oral, j'avais à mon sens fais une bonne présentation et un développement maitrisé et des questions auxquels j'ai su répondre même si des indications étaient nécessaire parfois. Malgré cela la note ne suit pas mes impressions.
8
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Pas de réponse fournie.
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- Beaucoup de questions sur le développement (rappel de la formule de Cauchy, développer l'argument de convergence uniforme sur tout compact...)
- Le résultat reste-t-il vrai pour d'autres ouverts que le disque ?
- Comment calculer la norme de f à l'aide de son développement en série entière ? (utiliser Parseval et les calculs du développement)
- Comment montrer l'implication de ( si (f | en) = 0 pour tout n alors f = 0) vers ( (en) est une suite totale). Il faut utiliser une conséquence du théorème de projection de Riesz.
-Rappel de la définition d'une fonction holomorphe, lien avec la différentielle, interprétation géométrique ? Il voulait que je parle de similitude et des équations de Cauchy-Riemann, il a dû beaucoup me pousser pour avancer.
- Un exercice sur des normes. On se place sur l'espace des polynômes, et l'on considère les normes : sup(coeff de P), sup(P) sur [0,1], et intégrale de P^2 sur [0,1]. Rappeler rapidement pourquoi ce sont des normes. L'application P -> P(0) est elle continue pour ces normes ? C'est clair pour les 2 premières, faux pour la dernière (il faut bidouiller une suite de polynômes, je n'ai pas eu le temps de finir).
Très bienveillant, ils me guidaient toujours en cas de blocage.
Je m'attendais à plus de questions sur le plan ou des exercices, finalement plus de questions autour du développement.
14.75