Développement : Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

EWna

Recasages: 203, 208

Pour que le développement soit assez long, il faut déjà ne pas aller trop vite, et montrer l'un ou les deux détails suivants:
- les compacts en dimension finie sont les fermés bornés (et non dire que c'est immédiat parce que c'est isomorphe à $\mathbb{K}^n$ ou je ne sais quel autre revers de la main) (c'est un procédé d'extraction diagonale, c'est intéressant en soi)
- une application continue coercive en dimension finie atteint un minimum pour montrer que la distance à un sev est atteinte

Gourdon Analyse [3e édition] p50+56

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil

Crépusculaire

Je n'utilise le Gourdon que pour l'équivalence des normes.

Théo S.

Développement long. En fonction de la leçon tirée, je conseille de faire un choix sur les résultats que vous voudriez montrer devant le jury.
Également, pour que ce développement ait du sens, il est plutôt souhaitable d'aborder les notions de topologie dans l'ordre présenté par le livre en référence.
Je n'ai pas de source pour la preuve du lemme 1 dans mon pdf.
Recasages : 151, 203, 205, 206, 208.

Bertin Thomas

Faire d'abord l'équivalence des normes puis le théorème de Riesz

adrien pautre

Brunel

Pas le développement le plus fun mais il est quand même important dans certaines leçons. Il y a plein de manières de faire ces preuves, à vous de choisir. On peut vite tomber dans des preuves à base de "$E$ est isomorphe à $\mathbb R^n$ et comme on sait ce qu'il se passe dans $\mathbb R$, on en déduit le résultat". C'est peut-être juste mais je trouve ça moins intéressant, à vous de voir là aussi.

Je prends ce développement pour les leçons 206 et 208.

On trouvera les preuves aux alentours des pages 50 (pour équivalence des normes) et 56 (pour Riesz).