Cours d'analyse fonctionnelle

Daniel Li

Utilisée dans les 11 développements suivants :

Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Projection sur un convexe fermé
Etude de l'espace L1 dont la transformée de Fourier est L1
Théorème de Lévy et TCL
Racine carrée d'un opérateur hermitien positif dans un espace de Hilbert
Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz
Propriétés des opérateurs compacts
Une base de L2(0, 1) : les polynômes trigonométriques
Fermés de L2(R) invariants par translation
Spectre d'un opérateur autoadjoint

Utilisée dans les 17 leçons suivantes :

202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
222 (2022) Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.
228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
234 (2025) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
250 (2025) Transformation de Fourier. Applications.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
246 (2025) Séries de Fourier. Exemples et applications.

Utilisée dans les 14 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
  • Référence :
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  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 201, 205, 213, 234, 241

    Je le mets dans la 213 car j'aurai essayer d'axer le dév sur l'espace L^2 et montrer que l'on a bien un produit scalaire dessus. Néanmoins il aurait fallu être capable de justifier qe c'est le seul des L^p à être hilbertien (c'est corriger en exo dans le El Amrani).

    Je pense que je n'aurai pas fait le cas +infini car je le trouve pas très bien fait dans les bouquins que j'utilisais mais la démonstration est moins compliquée.

    Sinon ça passe bien en 15 minutes.
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Utilisée dans les 64 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'adore cette leçon et je suis tombé dessus le jour J ! (voir mon témoignage)
    Je ne l'ai pas faite tout à fait comme ça le jour J : J'ai raccourci la partie I-2) en enlevant les espaces produits (parce que j'aimais pas trop ça...) Dans la partie II-1), j'ai rajouté des choses sur les espaces vectoriels normés de dimension finie (comme quoi ils sont tous complets parce qu'on a l'équivalence des normes...). Comme exemple d'application du théorème du point fixe, j'ai mis le théorème d'inversion locale (que je faisais en dev) plutôt que Cauchy-Lipschitz. Enfin, j'ai regroupé les parties III-1) et III-2), tout ça pour avoir un peu plus de place pour parler de la théorie de Baire que j'aime bien.
    Je vous laisse aller voir mon témoignage, ils m'ont surtout interrogé sur les espaces $L^p$ parce que je suis passé sur Riesz-Fischer en dev. Je pense qu'il faut bien connaître des exemples d'espaces complets, mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. La théorie de Baire n'est pas obligatoire (mais me semble quand même être un bon investissement à faire pendant l'année), si on en parle il faut l'avoir vraiment travaillée : les démos (je faisais Banach-Steinhaus en DEV avec un exemple de fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0), mais aussi des exemples d'utilisation, faire quelques exercices sur le sujet. Personnellement, j'en ai parlé parce que j'avais vu tout ça en M1.
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  • Remarque :
    Cette leçon a été faite au début de l'année. Je n'ai pas grand chose à dire dessus si ce n'est que comme d'habitude la théorie de Baire n'est pas obligatoire mais elle me semble être un bon investissement à faire pendant l'année. Si on en parle, il faut travailler les démos et voir quelques exemples d'utilisation, faire quelques exercices...
    Parler des Hilbert me semble indispensable (sinon la leçon est un peu pauvre...)
    Pour les savoir-faire : savoir justifier qu'une application linéaire est continue et surtout justifier qu'elle ne l'est pas au moyen d'une suite (le plus souvent), savoir trouver des normes d'opérateurs...
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    J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible.

    J'aime bien cette leçon car la partie dans L1 est incontournable et l'application en probas est sympa. Par contre pour la partie ça se corse un peu. Je parle de Schwartz parce que c'est un cadre agéable pour faire de la transformée de Fourier et le cadre L2 est je pense incontournable aussi. Cependant, il faut vraiment être au point sur le passage de L1 à L2. Je trouve que le El Amrani n'est pas très bien fait sur cette partie.

    Je suis tombé dessus en oral blanc. Voici quelques questions/exos:
    - Est-ce qu'il existe des fonctions dans L1 dont la transformée de Fourier n'est pas dans L1 ?
    - Est-ce que ce sinus cardinal peut être la transformée de Fourier d’une fonction dans L2 ?
    - On définit la transformée de Fourier dans l’espace de Schwartz que l’on peut étendre à L1 inter L2 sur lequel est également définit une transformée de Fourier. Comment s’assurer qu’elles coïncident sur Schwartz ?
    - Si on prend f à support compact telle que sa transformée soit aussi à support compact. Que dire de f ?
    - Soit X,Y des variables aléatoires indépendantes de même loi telle que leur somme suit une loi normale. Montrer qu’elles suivent une loi normale.

    J'utilise le El Amrani pour la 1ère partie et le II.1, le Li pour le II.2 et le Garet-Kurtzmann pour les probas.
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