Leçon 205 : Espaces complets. Exemples et applications.

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

235 : Problèmes d'interversion de symboles en analyse.

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Mon autre développement était le théorème de projection sur un convexe fermé + l'application projection est 1-Lipschitzienne.

Les 6 minutes se sont très bien passées même si j'ai dépassé d'une dizaine de secondes, ils n'en ont pas tenu rigueur, mais j'étais un peu dégouté parce que j'ai pas trop eu le temps de parler de ma dernière sous-partie sur la théorie de Baire.

Le développement s'est très bien passé aussi (14 minutes), l'un des jury a enchaîné en me posant quelques questions sur le dev, pour voir si je savais bien tout justifier : comment on construit la sous-suite au début ? Pourquoi une fonction intégrable est finie presque partout ? Comment montre-t-on la sous-additivité de la mesure ? (J'ai été un peu surpris par cette question qui s'éloignait vraiment des espaces complets... Mais bon j'ai bien répondu en rappelant au passage la définition d'une mesure, je pense que ça a été apprécié).
Le "leader" du jury (extrêmement sympathique) a repris la main en me demandant ce que je savais sur les inclusions entre les $L^p$, j'ai répondu qu'en général il n'y avait pas d'inclusion, mais qu'en mesure finie si, puis j'ai commencé à écrire et il m'a tout de suite demandé de préciser avec l'exemple de $L^2$ et $L^1$, il m'a demandé de démontrer (j'ai utilisé Hölder) puis il a enchaîné sur l'exo suivant :

Exo 1 : On considère $L^2([0;1])$ et $L^1([0;1])$, on a donc le premier inclus dans le second. Montrer que la boule unité fermée de $L^2([0;1])$ est fermée dans $L^1([0;1])$. A ce moment là je jubilais car j'avais déjà traité l'exo ! Je l'ai donc fait assez rapidement (il faut utiliser le critère séquentiel, et le lemme de Fatou)
Suite de l'exo : Montrer que $L^2([0;1])$ peut s'écrire comme union dénombrable de fermés de $L^1([0;1])$ d'intérieur vide. Commenter.
J'ai tout de suite commenté en disant que ça faisait de $L^2([0;1])$ un espace maigre dans $L^1([0;1])$. Puis pour le démontrer, j'ai voulu poser les boules de rayon $\frac{1}{n}$ mais le jury m'a dit "vous êtes sûrs ? La norme va être petite là." J'ai donc modifié par $n$ puis quand il a fallu justifier que c'était d'intérieur vide j'ai un peu bégayé, mais le jury m'a demandé "que dire de l'intérieur d'un sous-espace vectoriel ?" J'ai alors répondu "ah oui lorsque le sev est strict, l'intérieur est vide !" et ça a conclu l'exo.

Exo 2 : Dans $\ell^2(\mathbb{N})$, on considère $e_n=(z^{nk})_{k \in \mathbb{N}}$ où $z$ est complexe fixé de module strictement compris entre 0 et 1. Montrer que $e_n$ est dans $\ell^2$. (ça a été). Puis montrer que $(e_n)$ est une famille totale de $\ell^2$. J'ai tout de suite eu le réflexe de regarder l'orthogonal, j'ai écrit les choses, puis j'ai été vite bloqué... Mais le jury m'a aidé, même quand j'étais un peu gogole, et péniblement j'ai fini par conclure (l'exo n'est pas facile en vrai, il faut écrire la série, qui vaut 0, puis écrire la somme de la série, dire que c'est une fonction qui s'annule sur tous les $z^n$, utiliser le principe du prolongement analytique ...)

Exo 3 : Soit $T : L^2(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{C}^0(\mathbb{R})$ une application linéaire continue qui vérifie :
$\forall t \in \mathbb{R}, \forall f \in L^2(\mathbb{R}), T(\tau_t f)=\tau_t T(f)$. Qui est $T$ ?
Alors là bon évidemment j'avais aucune idée... Puis le jury m'a suggéré de regarder $f \longmapsto T(f)(0)$, j'ai bidouillé un truc avec le théorème de Riesz... Mais après c'était difficile, et on n'a pas pu conclure...

Encore une fois le jury est très gentil et bienveillant ! Celui qui dirigeait l'échange s'est montré très sympathique, drôle, il faisait tout pour détendre l'atmosphère. L'autre jury était tout aussi sympathique, et la femme n'a presque pas parlé sauf pour demander une fois s'il existait un théorème du point fixe pour les itérés, j'ai fait remarquer que c'était dans mon plan, elle a dit "au temps pour moi" et on est passé à la question suivante. Je pense vraiment qu'il y a toujours un membre du jury qui se tait pour observer, lire le plan etc...

Le jury n'hésite pas à aider si on bloque un peu, valorise toutes les interventions pertinentes... Par contre encore une fois il ne laisse pas transparaître ce qu'il pense de la leçon, du dev... Ce qui est normal.

Comme pour l'algèbre (voir retour leçon 125 2024), il n'y a rien à redire sur la préparation, tout est très bien organisé de A à Z, les gens sont disponibles, bienveillants,...

J'avoue qu'en sortant de l'oral ça s'était bien passé selon moi mais pas au point d'avoir la note maximale ! La preuve qu'il ne faut pas nécessairement faire un oral parfait pour que ce soit le cas ! Le jury valorise vraiment toutes les initiatives, il faut montrer qu'on connaît son cours et qu'on a un peu de recul sur les choses... Ils ne s'attendent pas à ce qu'on résolve les exercices parfaitement du premier coup !
J'ai aussi remarqué (ça a été le cas dans mes 2 oraux) qu'il faut vraiment très bien maîtriser son développement et tout ce qu'il y a autour, car le jury part du développement pour poser les questions puis les exercices.

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205 : Espaces complets. Exemples et applications.

224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Le développement se passe parfaitement bien, 14'30 avec dynamisme et enthousiasme. Une petite question sur le développement ; j'utilisais la version itérée du théorème de point fixe de Banach, on m'a demandé de démontrer ce théorème (en admettant le théorème de point fixe). J'avoue que je me suis un peu emmêlé les pinceaux, le jury est intervenu en m'invitant à rester "calme et pragmatique", j'ai fini par y arriver. Pas d'autres questions sur le développement.

Questions sur le plan :
- Comment montre-t-on la formule de Plancherel pour la transformée de Fourier dans L1 inter L2 ? (formule autrement appelée formule de passage du chapeau pour les intimes) J'invoque le théorème de Fubini, le jury est content.
- Comment montre-t-on que L1 inter L2 est une partie dense de L2 ? J'explique que le sous espace des fonctions continues à support compact est dense dans L2 et est inclus dans L1 inter L2. On me demande de le prouver, je dis que c'est une propriété difficile à montrer, car très reliée à la construction même de la mesure de Lebesgue. Le jury a l'air ok avec cet argument, on passe.
- Mq la norme L2 de f et de sa transformée de Fourier sont égales pour f dans L1 inter L2. C'est un point important pour étendre par densité la transformée de Fourier à L2. Je veux utiliser la formule de Plancherel, mais pour cela, j'ai besoin de montrer que la transformée de Fourier est dans L1. J'essaie de le faire, mais je me rends vite compte que ce n'est pas garanti. Le jury voit que je ne sais pas faire, et me dit que cette formule est beaucoup plus facile à montrer dans l'espace de Schwartz. Ce sur quoi je rebondis en disant qu'en effet, dans ce cas, la transformation de Fourier est un isomorphisme de la classe de Schwartz, et donc on aura bien f chapeau dans L1, et une simple application de la formule de Plancherel donne le résultat.
- On me demande de dessiner dans R2 le carré fermé [0,1] X [0,1]. Jusque là tout va bien. Puis on me demande de prendre un point dans le plan R2 et de dessiner sa projection sur le carré. J'affirme que le carré fermé est bien un convexe fermé du Hilbert R2, puis je prends un point, et dessine sa projection. On me demande de le faire pour un autre point. Je prends un autre point, mais j'ai pensé qu'on me demandait de le refaire pour que j'ajoute du détail dans la manière dont je trouve la projection, alors je m'emmêle les pinceaux dans des délires de caractérisation par l'angle obtus, et un des jurys me dit : "mais la projection, ça minimise la distance!". Je réponds "ah oui!", je dessine la projection du second point, et puis on passe à un exercice.

On me donne V le sous espace des fonctions L2 positives presque partout. On me demande de montrer que c'est un convexe fermé de L2. La convexité est très facile, pour le caractère fermé, j'utilise le critère séquentiel, mais je me rends vite compte qu'il va falloir gérer les "presque partout". Le jury m'a sûrement senti hésitant, donc il m'a demandé d'écrire la définition de "f positive presque partout" avec les quantificateurs. Cela m'a bien aidé et j'ai su finir (l'ingrédient clef étant que la réunion dénombrable d'espaces de mesure nulle reste de mesure nulle).

Ensuite, question inévitable, on me demande de prendre f dans L2 et de trouver sa projection sur V. J'affirme qu'on va utiliser la caractérisation par l'angle obtus de la projection (que j'écris mal d'abord, ce que le jury me fait remarquer, donc je rectifie). Le jury est content, et m'invite à poursuivre. J'essaie de dire quelques petites choses, rien de bien folichon. Puis le jury m'incite à faire un dessin d'une fonction f dans L2. Je dessine une fonction continue positive partout. Le jury me demande si mon dessin va m'être utile. Je lui dis que non, puisque la fonction que je viens de dessiner est dans V, donc sa projection est elle-même. Je dessine une fonction plus générale, et montre alors que la projection cherchée est la fonction qui vaut f quand f est positive, et 0 sinon.

Autre exercice : Soit E un espace de Banach, p un projecteur (ie p^2=p) tel que le noyau et l'image de p sont fermés dans E. Montrer que p est continu. Je commence par dire que le noyau et l'image étant fermés dans E complet sont eux-même complets, et qu'ils sont supplémentaires dans E vu que p est un projecteur. Le jury est content, et m'introduis une norme, dont on me demande de montrer qu'elle est équivalente à la norme de départ sur E. Je trouve une des deux inégalités, et l'oral s'arrête là.

Un membre du jury menait l'entretien, les deux autres étaient très discrets. Jury peu agréable quand je suis rentré dans la salle, mais très souriant pendant mon développement.

On est une douzaine à préparer en même temps dans la même (petite) salle. La température monte vite...
Pour le plan, je n'ai rempli que deux pages sur trois. Cela me faisait une trentaine d'items, et manifestement, cela a suffi. Corollaire 1 : Ce n'est pas la taille qui compte...
En sortant de mon oral, j'étais dépité, les questions sur le plan ne s'étaient quand même pas très bien passées, et la résolution des exercices avait été très poussive. J'ai été beaucoup aidé, je pensais avoir une note autour de 10 grâce à mon développement qui s'était quand même bien passé. Corollaire 2 : En sortant d'un oral, vous êtes le pire des juges possibles, vous ne savez pas ce qu'a pensé le jury. Quand vous sortez d'un oral, dans la mesure du possible, restez positifs, et restez concentrés pour les oraux suivants, que cela se soit bien passé à votre goût ou non. Au moment des résultats, ma note m'a énormément surpris.

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205 : Espaces complets. Exemples et applications.

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Dual de Lp

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

(On ne peut pas ajouter un nv dvlpt, celui que j'ai fait c'est pour les suites lq dual de lp, dans le Adam Bowers and Nigel Kalton)

Pour commencer je n'étais pas prêt sur ce développement. J'ai défini une application de lp vers lq et vice-versa mais je n'ai pas su montrer que c'était bien une isométrie.

- Ils m'ont ensuite demandé une suite de Cauchy tendant vers racine de 2, itérer $x \longmapsto 1/2(x+2/x)$
- la construction d'un complété;
- lp complet et à défaut $l_{\infty}$ complet que j'ai fait avec un peu d'aide;
- comme j'ai mentionné $W^{k,p}$ dans le plan ils m'ont demandé la définition et montrer que c'était complet, j'ai évoqué avec hésitation l'inégalité de Poincaré et l'idée générale du fermé ds un complet (L^p), mais j'ai fini par sauter la question;
- inclusion des différents $L^p ( X,\mu)$ les uns dans les autres, ils m'ont laisser ajouter $\mu(X)$ fini;
- densité de $L_1 \cap L_2 \subseteq L_2$ pour le prolongement de la transformée de Fourier, malheureusement j'ai pas su le faire alors que le matin même j'avais révisé $C_c \subseteq L_1$ et dans le même genre, le prolongement de l'intégrale de Riemann. J'ai tout de suite dit que c'était défini pour les fonctions en escalier puis étendu aux fonctions réglées ou continue, mais j'ai été déstabilisé quand ils m'ont dit que les fonctions en escalier ne sont pas dans les fonctions continues...
-J'ai eu un dernier exo convergence simple de $f_n$ vers $f$ ainsi que $||f_n||_p \longrightarrow ||f||_p$. Montrer la convergence dans $L_p$. J'ai dit convergence dominée. Pas de réaction, ils m'ont fait commencer par le cas p=2. Je me suis rappelé qu'ils fallait considérer norme de qqch au carré et utiliser le produit scalaire et cela a tout de suite marché. J'ai eu une inégalité à montrer, $|a-b|^p < 2^{p-1}(|a|^p+|b|^p)$. J'ai fait un dessin de $x \mapsto x^p$ convexe et cela leur a suffit, le temps était écoulé.

Comme en en algèbre plutôt bienveillant, sympathique. Ils ont quand même eu l'air surpris quand j'ai dit que je n'étais pas prêt sur mon dvlpt!!!

Comme en algèbre, un oral blanc dans une prépa agreg donne une idée juste de ce que l'on aura le temps de faire.

J'ai passé du temps à vérifier certains points de mon plan lors de la préparation, mais finalement le jury ne s'est pas arrêté sur ceux que je redoutais mes sur d'autres.

Les 15 dernières minutes les surveillant vont rappeler des consignes (mettre telle fiche sur le coté, n'oublier pas votre carte d'identité...) et cela m'a bcp dérangé car je n'étais pas prêt sur mon dvlpt.

Il faut rendre ses brouillons après l'oral. J'ai bien résumé le thm d'inversion local avec les notations du Gourdon, mais si le jury regarde vraiment ces brouillons, ils verront qu'il n'y a que le tout début du dvlp présenté... pour cause je n'avais pas terminé de le lire!!!

10.25

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

Théorème de Baire et applications

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Beaucoup de questions sur le plan, notamment des demandes de précisions et de démonstration de résultats simples :

Question : Est-ce que R[X] est complet ? L'idée est de montrer que les Rn[x] sont tous des fermés et d'utiliser la contraposée de Baire
Question : Pour la caractéristisation des complets par les fermés emboîtés, l'hypothèse du diamètre tendant vers 0 est-elle nécessaire ?
Question : Autour des théorèmes de point fixe, analyse des cas particuliers avec exemples
Question : Inclusion des Lp dans le cas d'une mesure finie.
Question : Est-ce que L2(Rn) inclus dans L1(Rn) ?

Le jury s'est révélé être plutôt sympathique, bienveillant tout au long de l'oral même si mes performances étaient plus que moyennes. L'objectif du jury est essentiellement de vérifier que notre plan a été réfléchi et non seulement recopié.

Durée de préparation inférieure aux trois heures annoncée (environ 2h50). beaucoup de bruits dans les couloir et salle de préparation très remplie.

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205 : Espaces complets. Exemples et applications.

222 : Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.

Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Deux questions sur le développement pour voir en gros si je ne suis pas un tocard.

Soit $f$ continue avec $f(a)=0$. Montrer que l’ensemble des points $x$ tels que la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ partant de $x$ converge vers a est un ouvert.
- On utilise la continuité des itérés de $f$.

On se place dans un Hilbert $H$ séparable. Montrer que si $(u_n)_n$ converge faiblement vers $u$, alors $(||u_n||)_n$ est bornée.
- On utilise Banach-Steinhaus.
Soit $(e_k)_k$ une base hilbertienne de $H$. Montrer que $(u_n)_n$ converge faiblement vers $u$ si et seulement si pour tout $k$, $\langle u_n,e_k\rangle \to \langle u,e_k \rangle$.
- Le sens direct est évident. Je me suis pas mal embrouillé dans les arguments et les notations, mais ça se fait plutôt bien avec Cauchy-Schwarz et une interversion de limite. On est passé à un autre exercice.

On se place dans $L^2 ([0,1])$. On note $e_k : x \mapsto x^{1/k}$. Montrer que la famille $(e_k)_k$ est une famille totale.
- On montre que l’orthogonal de cette famille est nul. (Indication : introduire $F(z) = \int_{0}^{1} f(x)x^z \mathrm{d}x$) La fonction $F$ est holomorphe grâce au théorème d’holomorphie sous l’intégrale (J’ai galéré dans le critère de Riemann pour donner son domaine de définition). Avec le théorème des zéros isolés, $F = 0$. En particulier $F(k) = 0$ pour tout $k$ et on conclut avec le théorème de Weierstrass.

Le jury était plutôt sympa, et donnait des indications quand je galérais mais me laissait aussi réfléchir. Ils n'ont pas trop aimé que je bute sur le critère de Riemann par contre, normal !

Tableau blanc et grand.

19.75

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

Pas de réponse fournie.

Densité des fonctions continues nulles part dérivables

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Deux questions sur le développement, puis principalement des exos.

Pourquoi la fonction \[ t\mapsto \left\{\begin{array}{rl}
\frac{f(t)-f(s)}{t-s} \esperluette \mbox{si $s\neq t$ } \\
f'(t) \esperluette \mbox{si $s=t$}\end{array}\right. \] est-elle continue (je n'avais justifié que la continuité en $t$) ?

A-t-on vraiment \[ D=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} F_n \] ($D$ désignant l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ dérivables en au moins un point et \[F_n=\left\lbrace f\in \mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R} ), \exists t\in [0,1], \forall s\in [0,1], |f(t)-f(s)|\leqslant n|t-s| \right\rbrace \] ayant vocation a être un fermé d'intérieur vide) ?
Non, on a seulement une inclusion, mais comme on montre que le membre de droite est d'intérieur vide, celui de gauche l'est aussi, et c'est ce qu'on cherche.

Un exemple d'espace muni de deux distances dont l'une est complète et pas l'autre ?
$ \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ $ n'est pas complet pour la distance induite par la valeur absolue de $\mathbb{R}$, mais l'est pour la distance définie par $d(x,y)=|\tan(x)-\tan(y)|$.

Un exemple d'espace complet non normé ?
Un espace métrique complet qui n'est pas un espace vectoriel, par exemple celui ci-dessus.

Comment construit-on $\mathbb{R}$ et cela se généralise-t-il ?
En quotient l'ensemble des suites de Cauchy de $\mathbb{Q}$ par la relation d'équivalence identifiant deux suites si leur différence tend vers $0$, en faisant bien attention à remplacer les $\varepsilon$ par des $\frac{1}{k}$ dans la définition de la convergence puisque les $\varepsilon$ réels n'existent pas encore. C'est une des façons de compléter n'importe quel espace métrique, sauf que mainteant les $\varepsilon$ réels existent, donc c'est moins subtil.

Y a-t-il une métrique qui rende $\mathbb{Q}$ complet ?
Si on demande qu'elle induise la topologie usuelle, non par théorème de Baire. Sinon, ...

Comment prouve-t-on le théorème de Cauchy-Lipschitz ?
Une solution au problème de Cauchy est un point fixe de l'application \[ \varphi \longmapsto \left( t\mapsto x_0+ \int_{t_0}^t f(u,\varphi(u)) \mbox{d}u \right) \mbox{.}\] Cette application possède une itérée contractante. Le reste est technique et ne relève pas du théorème du point fixe.

Le disque unité ouvert de $\mathbb{C}$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact (qui est métrisable via une exhaustion compacte) est-il complet ? Pourquoi ?
Oui, par théorème de Weierstrass, qui se prouve en utilisant la formule de Cauchy.

Soient $E$ l'espace $\mathscr{C}^1([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme $\Vert f\Vert _E=\Vert f\Vert _\infty +\Vert f'\Vert _\infty $ et $F$ l'espace $\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme $\Vert f\Vert _F=\Vert f\Vert _\infty $. On note $\Phi$ l'opérateur de dérivation de $E$ dans $F$. Montrer que $\Phi(B_E(0,1))$ est d'intérieur non vide.
$\Phi$ est linéaire et $\Vert \Phi f\Vert _F\leqslant \Vert f\Vert _E$, donc $\Phi$ est continue. Le résultat suit donc du théorème de l'application ouverte.

Mouais, je veux bien que $F$ soit complet, c'est dans votre plan. Mais pourquoi $E$ l'est-il ?
Si $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est de Cauchy dans $E$, $(f_n')_{n\in \mathbb{N}}$ l'est aussi dans $F$ car $\Vert f' \Vert _F \leqslant \Vert f\Vert _E$ si $f\in E$. Donc $(f_n')_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformément, le reste est classique.

Jury neutre, un des membres a clairement l'air de s'ennuyer. Questions de niveau moyen.

Pas de réponse fournie.

13.25