Leçon 205 * : Espaces complets. Exemples et applications.

(2018) 205

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 205 - Espaces complets. Exemples et applications.) Les candidats devraient faire apparaître que l’un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d’existence : que ce soit tout simplement dans R ou C mais aussi dans certains espaces de dimension infinie (par exemple dans certains espaces de fonctions). Il est important de présenter des exemples d’espaces usuels, dont on sait justifier la complétude. Un candidat à l’agrégation doit manifester une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles (les $l^p(N)$ fournissent déjà de beaux exemples). On peut évoquer dans cette leçon des théorèmes classiques tels que le théorème du point fixe des applications contractantes et le théorème de Cauchy-Lipschitz. On ne s’aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée ; elles sont nombreuses. Le jury met en garde sur le caractère délicat de la démonstration détaillée, souvent tentée, rarement réussie, de l’existence d’une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point.

(2016 : 205 - Espaces complets. Exemples et applications. ) Les candidats devraient faire apparaître que l’un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d’existence : que ce soit tout simplement dans R ou C mais aussi dans certains espaces de dimension infinie (par exemple dans certains espaces de fonctions). Il est important de présenter des exemples d’espaces usuels, dont on sait justifier la complétude. Rappelons ici que l’on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles. On peut évoquer dans cette leçon des théorèmes classiques tels que le théorème de Cauchy-Lipschitz ou le théorème du point fixe des applications contractantes. On ne s’aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée ; elles sont nombreuses. Rappelons à ce propos que la démonstration détaillée de l’existence d’une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point est délicate.
(2015 : 205 - Espaces complets. Exemples et applications.) Les candidats devraient faire apparaître que l'un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence en dimension infinie, en particulier dans les espaces de fonctions. Rappelons que l'on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Le théorème de Cauchy-Lipschitz, mal maîtrisé par beaucoup de candidats, est un point important de cette leçon. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles. On ne s'aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée. Rappelons à ce propos que la démonstration détaillée de l'existence d'une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point est réservée aux candidats solides.
(2014 : 205 - Espaces complets. Exemples et applications.) Les candidats devraient faire apparaître que l'un des intérêts essentiel de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence en dimension infinie, en particulier dans les espaces de fonctions. Rappelons que l'on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Le théorème de CauchyLipschitz, mal maîtrisé par beaucoup de candidats, est un point important de cette leçon. Les espaces $L_p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles. Le théorème de Baire trouve naturellement sa place dans cette leçon, mais il faut l'accompagner d'applications. Rappelons que celles-ci ne se limitent pas aux théorèmes de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, mais qu'on peut évoquer au niveau de l'agrégation l'existence de divers objets : fonctions continues nulle part dérivables, points de continuité pour les limites simples de suites de fonctions continues, vecteurs à orbite dense pour certains opérateurs linéaires, etc. Les candidats prendront toutefois garde à ne pas présenter des applications de ce théorème au dessus de leur force.

Plans/remarques :

2018 : Leçon 205 - Espaces complets. Exemples et applications.


2017 : Leçon 205 - Espaces complets. Exemples et applications.


2016 : Leçon 205 - Espaces complets. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 205 - Espaces complets. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    205 : Espaces complets. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Dual de Lp

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    (On ne peut pas ajouter un nv dvlpt, celui que j'ai fait c'est pour les suites lq dual de lp, dans le Adam Bowers and Nigel Kalton)

    Pour commencer je n'étais pas prêt sur ce développement. J'ai défini une application de lp vers lq et vice-versa mais je n'ai pas su montrer que c'était bien une isométrie.

    - Ils m'ont ensuite demandé une suite de Cauchy tendant vers racine de 2, itérer $x \longmapsto 1/2(x+2/x)$
    - la construction d'un complété;
    - lp complet et à défaut $l_{\infty}$ complet que j'ai fait avec un peu d'aide;
    - comme j'ai mentionné $W^{k,p}$ dans le plan ils m'ont demandé la définition et montrer que c'était complet, j'ai évoqué avec hésitation l'inégalité de Poincaré et l'idée générale du fermé ds un complet (L^p), mais j'ai fini par sauter la question;
    - inclusion des différents $L^p ( X,\mu)$ les uns dans les autres, ils m'ont laisser ajouter $\mu(X)$ fini;
    - densité de $L_1 \cap L_2 \subseteq L_2$ pour le prolongement de la transformée de Fourier, malheureusement j'ai pas su le faire alors que le matin même j'avais révisé $C_c \subseteq L_1$ et dans le même genre, le prolongement de l'intégrale de Riemann. J'ai tout de suite dit que c'était défini pour les fonctions en escalier puis étendu aux fonctions réglées ou continue, mais j'ai été déstabilisé quand ils m'ont dit que les fonctions en escalier ne sont pas dans les fonctions continues...
    -J'ai eu un dernier exo convergence simple de $f_n$ vers $f$ ainsi que $||f_n||_p \longrightarrow ||f||_p$. Montrer la convergence dans $L_p$. J'ai dit convergence dominée. Pas de réaction, ils m'ont fait commencer par le cas p=2. Je me suis rappelé qu'ils fallait considérer norme de qqch au carré et utiliser le produit scalaire et cela a tout de suite marché. J'ai eu une inégalité à montrer, $|a-b|^p < 2^{p-1}(|a|^p+|b|^p)$. J'ai fait un dessin de $x \mapsto x^p$ convexe et cela leur a suffit, le temps était écoulé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Comme en en algèbre plutôt bienveillant, sympathique. Ils ont quand même eu l'air surpris quand j'ai dit que je n'étais pas prêt sur mon dvlpt!!!

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Comme en algèbre, un oral blanc dans une prépa agreg donne une idée juste de ce que l'on aura le temps de faire.

    J'ai passé du temps à vérifier certains points de mon plan lors de la préparation, mais finalement le jury ne s'est pas arrêté sur ceux que je redoutais mes sur d'autres.

    Les 15 dernières minutes les surveillant vont rappeler des consignes (mettre telle fiche sur le coté, n'oublier pas votre carte d'identité...) et cela m'a bcp dérangé car je n'étais pas prêt sur mon dvlpt.

    Il faut rendre ses brouillons après l'oral. J'ai bien résumé le thm d'inversion local avec les notations du Gourdon, mais si le jury regarde vraiment ces brouillons, ils verront qu'il n'y a que le tout début du dvlp présenté... pour cause je n'avais pas terminé de le lire!!!

  • Note obtenue :

    10.25

  • Leçon choisie :

    205 : Espaces complets. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Baire et applications

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur le plan, notamment des demandes de précisions et de démonstration de résultats simples :

    Question : Est-ce que R[X] est complet ? L'idée est de montrer que les Rn[x] sont tous des fermés et d'utiliser la contraposée de Baire
    Question : Pour la caractéristisation des complets par les fermés emboîtés, l'hypothèse du diamètre tendant vers 0 est-elle nécessaire ?
    Question : Autour des théorèmes de point fixe, analyse des cas particuliers avec exemples
    Question : Inclusion des Lp dans le cas d'une mesure finie.
    Question : Est-ce que L2(Rn) inclus dans L1(Rn) ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury s'est révélé être plutôt sympathique, bienveillant tout au long de l'oral même si mes performances étaient plus que moyennes. L'objectif du jury est essentiellement de vérifier que notre plan a été réfléchi et non seulement recopié.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Durée de préparation inférieure aux trois heures annoncée (environ 2h50). beaucoup de bruits dans les couloir et salle de préparation très remplie.

  • Note obtenue :

    10


2016 : Leçon 205 - Espaces complets. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    205 : Espaces complets. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    222 : Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Deux questions sur le développement pour voir en gros si je ne suis pas un tocard.

    Soit $f$ continue avec $f(a)=0$. Montrer que l’ensemble des points $x$ tels que la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ partant de $x$ converge vers a est un ouvert.
    - On utilise la continuité des itérés de $f$.

    On se place dans un Hilbert $H$ séparable. Montrer que si $(u_n)_n$ converge faiblement vers $u$, alors $(||u_n||)_n$ est bornée.
    - On utilise Banach-Steinhaus.
    Soit $(e_k)_k$ une base hilbertienne de $H$. Montrer que $(u_n)_n$ converge faiblement vers $u$ si et seulement si pour tout $k$, $\langle u_n,e_k\rangle \to \langle u,e_k \rangle$.
    - Le sens direct est évident. Je me suis pas mal embrouillé dans les arguments et les notations, mais ça se fait plutôt bien avec Cauchy-Schwarz et une interversion de limite. On est passé à un autre exercice.

    On se place dans $L^2 ([0,1])$. On note $e_k : x \mapsto x^{1/k}$. Montrer que la famille $(e_k)_k$ est une famille totale.
    - On montre que l’orthogonal de cette famille est nul. (Indication : introduire $F(z) = \int_{0}^{1} f(x)x^z \mathrm{d}x$) La fonction $F$ est holomorphe grâce au théorème d’holomorphie sous l’intégrale (J’ai galéré dans le critère de Riemann pour donner son domaine de définition). Avec le théorème des zéros isolés, $F = 0$. En particulier $F(k) = 0$ pour tout $k$ et on conclut avec le théorème de Weierstrass.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt sympa, et donnait des indications quand je galérais mais me laissait aussi réfléchir. Ils n'ont pas trop aimé que je bute sur le critère de Riemann par contre, normal !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Tableau blanc et grand.

  • Note obtenue :

    19.75


2015 : Leçon 205 - Espaces complets. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    205 : Espaces complets. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Densité des fonctions continues nulles part dérivables

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Deux questions sur le développement, puis principalement des exos.

    Pourquoi la fonction \[ t\mapsto \left\{\begin{array}{rl}
    \frac{f(t)-f(s)}{t-s} \esperluette \mbox{si $s\neq t$ } \\
    f'(t) \esperluette \mbox{si $s=t$}\end{array}\right. \] est-elle continue (je n'avais justifié que la continuité en $t$) ?

    A-t-on vraiment \[ D=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} F_n \] ($D$ désignant l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ dérivables en au moins un point et \[F_n=\left\lbrace f\in \mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R} ), \exists t\in [0,1], \forall s\in [0,1], |f(t)-f(s)|\leqslant n|t-s| \right\rbrace \] ayant vocation a être un fermé d'intérieur vide) ?
    Non, on a seulement une inclusion, mais comme on montre que le membre de droite est d'intérieur vide, celui de gauche l'est aussi, et c'est ce qu'on cherche.

    Un exemple d'espace muni de deux distances dont l'une est complète et pas l'autre ?
    $ \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ $ n'est pas complet pour la distance induite par la valeur absolue de $\mathbb{R}$, mais l'est pour la distance définie par $d(x,y)=|\tan(x)-\tan(y)|$.

    Un exemple d'espace complet non normé ?
    Un espace métrique complet qui n'est pas un espace vectoriel, par exemple celui ci-dessus.

    Comment construit-on $\mathbb{R}$ et cela se généralise-t-il ?
    En quotient l'ensemble des suites de Cauchy de $\mathbb{Q}$ par la relation d'équivalence identifiant deux suites si leur différence tend vers $0$, en faisant bien attention à remplacer les $\varepsilon$ par des $\frac{1}{k}$ dans la définition de la convergence puisque les $\varepsilon$ réels n'existent pas encore. C'est une des façons de compléter n'importe quel espace métrique, sauf que mainteant les $\varepsilon$ réels existent, donc c'est moins subtil.

    Y a-t-il une métrique qui rende $\mathbb{Q}$ complet ?
    Si on demande qu'elle induise la topologie usuelle, non par théorème de Baire. Sinon, ...

    Comment prouve-t-on le théorème de Cauchy-Lipschitz ?
    Une solution au problème de Cauchy est un point fixe de l'application \[ \varphi \longmapsto \left( t\mapsto x_0+ \int_{t_0}^t f(u,\varphi(u)) \mbox{d}u \right) \mbox{.}\] Cette application possède une itérée contractante. Le reste est technique et ne relève pas du théorème du point fixe.

    Le disque unité ouvert de $\mathbb{C}$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact (qui est métrisable via une exhaustion compacte) est-il complet ? Pourquoi ?
    Oui, par théorème de Weierstrass, qui se prouve en utilisant la formule de Cauchy.

    Soient $E$ l'espace $\mathscr{C}^1([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme $\Vert f\Vert _E=\Vert f\Vert _\infty +\Vert f'\Vert _\infty $ et $F$ l'espace $\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme $\Vert f\Vert _F=\Vert f\Vert _\infty $. On note $\Phi$ l'opérateur de dérivation de $E$ dans $F$. Montrer que $\Phi(B_E(0,1))$ est d'intérieur non vide.
    $\Phi$ est linéaire et $\Vert \Phi f\Vert _F\leqslant \Vert f\Vert _E$, donc $\Phi$ est continue. Le résultat suit donc du théorème de l'application ouverte.

    Mouais, je veux bien que $F$ soit complet, c'est dans votre plan. Mais pourquoi $E$ l'est-il ?
    Si $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est de Cauchy dans $E$, $(f_n')_{n\in \mathbb{N}}$ l'est aussi dans $F$ car $\Vert f' \Vert _F \leqslant \Vert f\Vert _E$ si $f\in E$. Donc $(f_n')_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformément, le reste est classique.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury neutre, un des membres a clairement l'air de s'ennuyer. Questions de niveau moyen.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    13.25