Développement : Distance de Hausdorff, Théorème de Hutchinson

Détails/Enoncé :

Soit $(X,d)$ un espace métrique complet, $\mathcal{K}(X)$ l'ensemble des compacts de $X$. Soit $A$ un compact, on note $d_A(x)=\underset{a\in A}{\inf}d(a,x)$ la distance à $A$.
Soient $A,B$ deux compacts de $X$, on défini leur distance de Hausdorff par:
\[\delta(A,B)=\max(\underset{a\in A}{\sup}\ d_{B}(a),\underset{b\in B}{\sup}\ d_{A}(b))\]
Alors:
\[(\mathcal{K}(X),\delta)\text{ est un espace métrique complet.}\]


Théorème de Hutchinson: Soit $c\in ]0,1[$, on considère $w_1,..w_N$ des applications $c$-Lipschitziennes de $X$ dans $X$. On pose
\[W:\begin{cases}\mathcal{K}(X)\rightarrow\mathcal{K}(X)\\ A\mapsto \cup_{i=1}^{N}w_i(A)\end{cases}\]
Alors $W$ admet un unique point fixe.

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