Développement : Distance de Hausdorff, Théorème de Hutchinson

Détails/Enoncé :

Soit $(X,d)$ un espace métrique complet, $\mathcal{K}(X)$ l'ensemble des compacts de $X$. Soit $A$ un compact, on note $d_A(x)=\underset{a\in A}{\inf}d(a,x)$ la distance à $A$.
Soient $A,B$ deux compacts de $X$, on défini leur distance de Hausdorff par:
\[\delta(A,B)=\max(\underset{a\in A}{\sup}\ d_{B}(a),\underset{b\in B}{\sup}\ d_{A}(b))\]
Alors:
\[(\mathcal{K}(X),\delta)\text{ est un espace métrique complet.}\]


Théorème de Hutchinson: Soit $c\in ]0,1[$, on considère $w_1,..w_N$ des applications $c$-Lipschitziennes de $X$ dans $X$. On pose
\[W:\begin{cases}\mathcal{K}(X)\rightarrow\mathcal{K}(X)\\ A\mapsto \cup_{i=1}^{N}w_i(A)\end{cases}\]
Alors $W$ admet un unique point fixe.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    J'ai repris la version de mickael et j'en ai fait un document plus détaillé. Je le recase aussi en compacité et dans suites récurrentes. Je vous ai aussi mit un code pour dessiner des fractales à partir de tout ça
    Amusez vous bien :D

    Update : J'ai repris et simplifié la preuve. On prend les limites des suites (xn) telles que xn dans An pour tout n plutôt que leurs valeurs d'adhérences ça marche aussi bien. Et on a en fait une preuve très simple pour montrer que A est fermé plutôt que de passer par l'intersection des adhérences des unions des Ak totalement indigeste. Bref désolé pour la V1 un peu cata
  • Références :
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Topologie , Queffelec (utilisée dans 34 versions au total)
Analyse mathématique , Testard (utilisée dans 5 versions au total)