Développement : Espace de Bergman du disque unité

Détails/Enoncé :

L'espace de Bergman du disque unité est $B^2( \mathbb{D} ) := Hol(\mathbb{D}) \cap L^2(\mathbb{D} )$.
$(B^2(\mathbb{D} ) , \|.\|_{L^2} )$ est un espace de Hilbert.
Une base hilbertienne de cet espace est $(z \mapsto z^n.\sqrt{\frac{n+1}{\pi}})_n$.
De plus, $B^2(\mathbb{D} )$ possède un noyau de reproduction, $K_{B^2(\mathbb{D})}(z;w) := \frac{1}{\pi}.\frac{1}{(1-\overline{w}z)^2}$, qui vérifie :
- $\overline{K_{B^2(\mathbb{D})}(z;.)} \in B^2( \mathbb{D} )$ $\forall$ z $\in \mathbb{D}$
- $f(z) = \iint_{\mathbb{D}} K(z;w)f(w) dxdy$, $\forall $f$ \in B^2(\mathbb{D})$ $\forall$ z $\in \mathbb{D}$.

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    Recasages : 201,245,243,234,213,208,205

    *LE* développement d'analyse tendance de l'année 2023. Belle application de la projection sur un convexe fermé dans un Hilbert (critère de densité utilisé pour la famille totale + théorème de rpz de Riesz)

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    Ce dév est très sympa et en regardant la preuve on comprend pourquoi il se recase autant ! Il n'est pas simple mais pas particulièrement dur, il utilise juste beaucoup de gros résultats/théorèmes je trouve. En fonction de la vitesse à laquelle vous allez il est clairement possible de sauter la proposition !

    C'est une très bonne preuve pour l'oral mais à l'écrit c'est compliqué (et surtout très très long!) de tout écrire parfaitement donc il faut prendre ce que j'ai écrit avec du recul et compléter les quelques petits flous techniques (que j'ai normalement pointés du doigt quand c'était nécessaire).

    Je prends ce développement pour les leçons 205, 213, 234, 243 et 245.

    On trouve la preuve aux alentours de la page 105. Je trouve qu'il va très vite sur certains arguments donc n'hésitez pas à regarder les précédentes rédactions de ce développement, elles sont très intéressantes !
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Espaces de Hilbert et opérateurs, Bayen, Margaria (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec (utilisée dans 15 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 130 versions au total)