Développement : Espace de Bergman du disque unité

Détails/Enoncé :

L'espace de Bergman du disque unité est $B^2( \mathbb{D} ) := Hol(\mathbb{D}) \cap L^2(\mathbb{D} )$.
$(B^2(\mathbb{D} ) , \|.\|_{L^2} )$ est un espace de Hilbert.
Une base hilbertienne de cet espace est $(z \mapsto z^n.\sqrt{\frac{n+1}{\pi}})_n$.
De plus, $B^2(\mathbb{D} )$ possède un noyau de reproduction, $K_{B^2(\mathbb{D})}(z;w) := \frac{1}{\pi}.\frac{1}{(1-\overline{w}z)^2}$, qui vérifie :
- $\overline{K_{B^2(\mathbb{D})}(z;.)} \in B^2( \mathbb{D} )$ $\forall$ z $\in \mathbb{D}$
- $f(z) = \iint_{\mathbb{D}} K(z;w)f(w) dxdy$, $\forall $f$ \in B^2(\mathbb{D})$ $\forall$ z $\in \mathbb{D}$.

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