(2019 : 234 - Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.)
Cette leçon porte sur les fonctions intégrables au sens de la théorie générale de l’intégration de Lebesgue ainsi que les suites et les espaces de telles fonctions. Elle ne se restreint donc pas au seul cas des fonctions intégrables pour la mesure de Lebesgue mais peut concerner d’autres mesures telles que la mesure de comptage, les mesures absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue, etc., ou encore les mesures de probabilités, qui entrent tout à fait dans le cadre de la leçon. $\\$ Le candidat est invité à étudier le comportement de suites de fonctions Lebesgue-intégrables. Il est souhaitable que soient mentionnés l’approximation par des fonctions étagées ainsi que les principaux théorèmes de convergence sous l’intégrale de cette théorie (le lemme de Fatou, le théorème de la convergence monotone et le théorème de convergence dominée) en les illustrant par des exemples et des contre-exemples judicieux. Il faut avoir compris que l’intégrale d’une fonction continue contre la mesure de Lebesgue coïncide avec la notion usuelle d’intégrale dite de Riemann, et connaître l’interprétation d’une série absolument convergente comme une intégrale. $\\$ Cette leçon nécessite de maîtriser la notion de fonction mesurable et la notion de « presque partout » (et les opérations sur les ensembles négligeables qui sont associées) ainsi que la définition des espaces $L^1$,$L^2$. Toutefois, une connaissance des questions fines de la théorie de la mesure n’est pas exigée. $\\$ Une partie de cette leçon peut éventuellement être consacrée aux espaces $L^p$, mais il n’est pas requis d’en faire le cœur de la présentation. Évoquer la convolution entre fonctionsL1, et éventuellement entre fonctions de $L^1$ et de $L^p$ ainsi que les propriétés de régularisation et de densité qui en résultent, font partie des attendus (on prendra garde toutefois d’éviter les raisonnements circulaires entre continuité des translations et approximation par convolution). Un développement original, mais techniquement exigeant, peut consister à étudier les conditions assurant la compacité de suites bornées dans $L^p$. Enfin, le cas particulier de l’espace hilbertien $L^2$ mérite attention mais il faut alors se concentrer sur les spécificités d’un espace de fonctions $L^2$ et éviter de faire un catalogue de propriétés vraies pour n’importe quel espace de Hilbert.
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'ai d'abord justifié mon plan de leçon qui était plutôt orienté vers les applications de la théorie de Lebesgue, en particulier en analyse de Fourier.
Le jury est d'abord revenu sur mon développement. J'avais introduit le noyau de Poisson et j'avais justifié sa positivité en faisant un calcul de discriminant. Le jury m'a alors demandé d'écrire le noyau sous une autre forme (avec des modules) et la positivité était immédiate.
Le jury m'a demandé de justifier l'existence du produit de convolution de deux fonctions intégrables. Ensuite de justifier que L1 n'avait pas d'élément neutre pour la convolution. Je l'ai fait par l'absurde en passant en Fourier et en utilisant le lemme de Riemann-Lebesgue pour obtenir une contradiction. J'ai au passage raconté une bêtise en disant que si le produit de deux fonctions est nul alors l'une des deux fonctions est identiquement nulle. Le jury m'a dit en êtes vous sûr et là on comprend tout de suite que quelque chose cloche, j'ai dit non et bien sûr ils m'ont demandé un contre exemple en faisant un dessin. Le mot dessin m'a beaucoup aidé et j'ai proposé le produit de deux indicatrices dont les intervalles sont disjoints. Le jury m'a ensuite précisé que ma démonstration par l'absurde était trop rapide car il fallait utiliser une fonction dont la transformée de Fourier était non nulle. J'ai alors proposé la fonction exp de -ax^2 avec a>0 dont je connaissais la transformée de Fourier (une exponentielle aussi). Le jury m'a ensuite demandé si je savais démontrer le lemme de Riemann-Lebesgue j'ai répondu qu'on le démontre sur l'espace C^1_c par IPP et ensuite par densité. Ils m'ont demandé la partie densité ce que j'ai fait. Il y a eu aussi une question sur le principe de ma démonstration de la complétude des espaces de Bergman ( mon deuxième développement proposé), j'ai donné les grandes lignes et l'oral s'est terminé ainsi.
Il y avait deux autres questions sur mon développement une qui parlait de densité des polynômes trigonométriques et j'ai eu beaucoup de mal à répondre à cette question malgré l'aide du jury. Une autre sur la partie de ma démonstration du théorème d'approximation de l'unité où j'avais choisi un delta trop grand pour que f(x-t) soit bien définie avec x dans [-pi,pi]...
J'avais oublié : on m'a donné un petit exercice : calculer la limite quand n tend vers +l'infini de l'intégrale entre 1 et + l'infini de exp(-t^n).
J'ai utilisé le théorème de convergence dominée. J'ai eu un peu de mal sur l'hypothèse de domination et le jury m'a aidé à surmonter cette difficulté. Ensuite on m'a demandé le lien entre convergence L1 et convergence pp j'ai dit si une suite converge en norme L1 alors il y a convergence pp pour une suite extraite. On m'a alors demandé un contre exemple. j'avais pas eu le temps de réviser cette partie pendant la préparation et j'ai du réfléchir pendant pas mal de temps. J'ai proposé une indicatrice sur un intervalle du type ]1/2^(k+1);1/2^k[, le jury m'a guidé pour améliorer ma réponse. Le jury m'a ensuite demandé le lien entre convergence uniforme et convergence L1, j'ai dit la convergence uniforme implique la convergence L1 si l'espace est de masse totale finie.
Le jury était très agréable. ils m'ont posé beaucoup de questions. Ils m'ont très bien guidé pour que j'arrive à répondre à leur questions. Je suis sorti de l'oral en ayant appris des choses !
On peut lire le nom de chaque membre du jury et j'ai un peu stressé quand j'ai vu le nom d'É. Matheron, ses questions était techniques d'ailleurs mais très pertinentes je trouve...
La préparation dure un peu moins de 3 heures donc attention à finir le plan en 2h45min grand max.
J'ai fini mon développement sur la sommation des séries d'Abel en 9 minutes. J'ai alors proposé de démontrer le théorème d'approximation de l'unité du moins le principe.
Le jury n'a posé aucune question sur les inégalités de Hölder ou de Minkowski qui étaient dans mon plan, dommage car je les avais bien préparées...
Pas de réponse fournie.
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
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Pas de réponse fournie.
On est d'abord revenus ensemble sur quelques détails de la démo de Riez, quelques précisions. Ensuite ils m'ont posé des questions sur mon plan :
- pas mal de questions sur les modes de convergence de VAR (j'avais une partie probas)
-questions sur le dual de Lp que j'avais admis, du coup ils m'ont demandé l'utilité du dual.
- j'ai eu une série de question sur L2 en tant que Hilbert, produit de convolution, quelques ensembles denses etc..
Ensuite on est passés aux exos.
1) Donner un exemple d'espace mesuré tels que les Lp soient croissants.
R: N muni de la mesure de comptage, on écrit norme Lp de f et on a le terme d'une série convergente donc qui tend vers 0. À partir d'un certain rang on est <1 et donc on a la croissance des Lp.
2) soit g dans L2(R)
ON suppose que g est orthogonale à toute indicatrice de segment [a,b]. Que dire de g ?
Intuitivement on sent que g est nulle precisons-le : Par densité des fonctions engendrées par les indicatrices. Et d'après la caractérisation dans un Hilbert qu'un sev est dense ssi son orthogonal est réduit à 0
Jury très sympathique des que la porte s'est ouverte, ça m'a vraiment déstressé de les voir ! Ils étaient agreables et pas cassants du tout. Ils me demandaient de préciser mon propos lorsque je n'étais pas clair. Et on sentait vraiment que les questions étaient là pour tester les limites du candidat et pas pour le détruire !
Je suis surpris, je m'attendais à être détruis par le jury. Grosse surprise de ce côté là. La préparation s'est bien passé. J'ai fini en 1h30 mon plan. J'ai pu m'entraîner à redémontrer tout les résultats de mon plan et les contre exemples.
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Pas de réponse fournie.
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f C^2 de R^+ dans R telle que f et f'' sont L^2, prouver que f' est L^2
$||f||_p -\textgreater ||f||_{+ infty}$ (sur un espace de mesure fini)
Jury neutre dans son attitude qui fournissait quelques indications.
Globalement bien passé je pense même si trois heures c'est super court.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
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Questions :
Q : a-t-on des inclusions entre les Lp si l'espace est de mesure finie ?
R : Oui, ils sont décroissants, petit temps pour le montrer.
Q : Que se passe-t-il si l'espace est de mesure infinie ?
R : Là j'ai dit que je savais qu'il existait des contre-exemples de fonctions qui sont dans un Lp mais dans aucun autre Lq.
Et que si on se donnait trois indices on avait une inclusion du type précédent. J'ai commencé à écrire au tableau, mais ils m'ont arrêté pour la suite
Q : Quelles sont les fonctions f qui convolées à elle-même sont nulles ?
R : Là, j'ai écrit la formule de la convolution, il m'a dit "Calme-toi", j'ai fait : "Ah ok", passons par Fourier.
Et là c'est posé.
Q : Vous avez écrit que la transformée de Fourier d'une fonction L1 est continue, que dire de plus ?
R : Elle tend vers 0 au bord.
Q : Montrer le
R : Euh, bah la démonstration que je connais … euh … repose sur une astuce … Plouf Plouf …
Q : Admettons le résultat. La transformée de Fourier va de L1 dans les fonctions continues qui tendent vers 0 aux bords, que dire de ce second espace.
R : c'est un Banach pour la norme infinie.
Q : Vous avez dit que la transformée de Fourier est injective, est-elle surjective dans ces conditions ?
R : Là, je me suis dit que je m'étais jamais posé cette question. Et j'ai répondu que je pensais pas vu qu'on introduisait L2 et S pour travailler sur Fourier en général, du coup qu'il fallait trouver un contre-exemple ou montrer que les deux espaces étaient pas isomorphes.
Q : Comment fait-on cela ?
R : On peut regarder le caractère séparable, là manque de bol les deux sont séparables, enfin je crois.
( du coup il faudrait regarder le caractère réflexif des deux machins … je sais pas si on peut s'en sortir )
Q : Passons à autre chose ? Que dire d'une application continue bijective d'un banach dans un banach ?
R : La réciproque est continue, par le théorème de l'application ouverte.
Q : Ok petit con maintenant tu vas nous dire à quoi ça sert dans la vie les espaces Lp ?
R : Euh … plouf plouf … On peut introduire les espaces de Sobolev pour résoudre des équations différentielles plus générale, et même des E.D.P.
Q : Les espaces de Sobolev ? MAIS TU TE FOUS DE MA GUEULE ? Tu crois que tu vas les intéresser les petits cons d'aujourd'hui avec leur black berry, leur iphone et le Ternet ?
R : Euh …
Q : Quoi euh !
R : Bah …
Q : Allez dégage toi aussi t'es un petit con !
R : Bonne journée.
Pas de réponse fournie.
J'étais pas très bien vu l'oral de la veille, du coup j'ai pas parlé de tout ce que j'avais prévu dans cette leçon ( Sobolev, Stampaccia, Lax-Milgram) et j'ai surtout bien veillé à la cohérence du plan surtout sur la construction des Lp. Et je me suis retrouvé à faire une leçon sur la convolution et la transformation de Fourier au final en gros ...
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions de niveau moyen, même si j'ai pas forcément très bien répondu.
Le jury était un peu relou, ils écoutaient pas vraiment, ils étaient mous, en gros j'avais un peu l'impression qu'ils s'en foutaient. Et un des mecs (J.-P. Barani) m'a plus ou moins forcé à dire que le dual de $L^1$ n'était pas $L^\infty$. J'ai pas trop insisté parce que c'est un oral, mais j'ai un peu la haine.
Et aussi, ils ont fait n'importe quoi administrativement parlant, mais tout s'est bien passé. Enfin un peu des branleurs quoi.
Jury : La solution que vous avez trouvé, que peut-on en dire à $t\textgreater0$ fixé ?
Votre serviteur : Eh bien puisqu'on a montré que $(t,x)\mapsto u(t,x)$ est $C^\infty$, en particulier $x\mapsto u(t,x)$ est lisse aussi.
J : Et comment vous le montreriez ?
VS : Ben… Je ferais ça…
[C'EST LE TIERS DE MON DÉVELOPPEMENT PENDARD, JE VIENS DE LE FAIRE, TU VEUX PAS ÉCOUTER UNE SECONDE ?]
J : Ah. Et si la dérivée en temps est double, qu'est-ce qu'il se passe ?
VS : C'est l'équation des ondes, ça ressemble plus à une équation de transport, il n'y a pas régularisation.
Jury : Soit $f$ l'indicatrice d'un ensemble de mesure strictement positive. Sa transformée de Fourier est-elle intégrable ?
Votre Serviteur : Non, sinon elle serait la transformée de Fourier inverse de sa transformée de Fourier, donc continue.
J : Si $f$ et $f^{(n)}$ sont $L^p$, montrez que les $f^{(k)}$ sont bornées.
J'en ai chié, mais Taylor, ce qui m'a valu un petit « Ah, je comprends pourquoi vous n'avez pas pris l'autre leçon. » du jury. Garder son calme.
Pas de réponse fournie.
Comme dit précédemment, jury un peu borné.
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