Développement : Sommation d'Abel des séries de Fourier

Détails/Enoncé :

Énoncé : Soit $f$ un élément de ${\mathcal C}_{{\rm pm},2\pi}$.

Pour tout élément $r$ de $]0,1[$, la série de fonctions
\[
c_0 + \sum\limits_{n \ge 1} \left( {c_n \left( f \right){\mathop{\rm e}\nolimits} _n + c_{ - n} \left( f \right){\mathop{\rm e}\nolimits} _{ - n} } \right){r^n }
\]
converge normalement sur $\mathbb{R}$.

Si $f_r$ désigne sa somme alors :
-- $f_r$ converge simplement vers la régularisée $\tilde f$ de $f$ lorsque $r$ tend vers 1 par valeurs inférieures.
-- Si $f$ est continue alors $ f_r$ tend vers $f$ lorsque $r$ tend vers $1^-$, uniformément en $x$ sur $\mathbb{R}$.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 45 versions au total)