Développement : Sommation d'Abel des séries de Fourier

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    Énoncé : Soit $f$ un élément de ${\mathcal C}_{{\rm pm},2\pi}$.

    Pour tout élément $r$ de $]0,1[$, la série de fonctions
    \[
    c_0 + \sum\limits_{n \ge 1} \left( {c_n \left( f \right){\mathop{\rm e}\nolimits} _n + c_{ - n} \left( f \right){\mathop{\rm e}\nolimits} _{ - n} } \right){r^n }
    \]
    converge normalement sur $\mathbb{R}$.

    Si $f_r$ désigne sa somme alors :
    -- $f_r$ converge simplement vers la régularisée $\tilde f$ de $f$ lorsque $r$ tend vers 1 par valeurs inférieures.
    -- Si $f$ est continue alors $ f_r$ tend vers $f$ lorsque $r$ tend vers $1^-$, uniformément en $x$ sur $\mathbb{R}$.


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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