(2019 : 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.)
Cette leçon est réformulée pour la session 2020 en $\\$ Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications. $\\$ Cette reformulation a pour objectif de clarifier les attendus, dont font partie les propriétés élémentaires des séries entières. Trop de candidats hésitent sur les différentes notions de convergence, les notions de disque de convergence et des domaines où il y a convergence normale ; un effort de préparation doit être fait sur ces notions afin de lever toute imprécision. $\\$ Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule deCauchy-Hadamard ou toute technique utilisant une majoration ou un équivalent. Des faiblesses importantes ont été observées quant à ces techniques. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est $\textbf{R}$ est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes (exp, log, $1/(1-z)$, sin,...). S’agissant d’exemples fondamentaux et classiques, le jury attend que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de0sont souvent méconnus. Le comportement de la série entière dans le disque de convergence en relation avec les différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme,convergence normale) doit être maîtrisé.La présentation des fonctions génératrices d’une variable aléatoire discrète peut tout à fait illustrer cette leçon. Le théorème d’Abel(radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On peut aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière ou encore la résolution de certaines équations différentielles ordinaires par la méthode du développement en série entière.
243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
— Un membre du jury m'a posé une question sur développement, relative à un théorème d'interversion limite simple/série, il y avait des histoires de convergences uniformes.
— Ensuite, ils sont passés aux questions. On a parlé de rayon de convergence de la somme de deux séries entières, et ils m'ont fait examiner la valeur de la somme de deux séries sur la couronne où l'une converge mais pas l'autre.
— Enfin, on a travaillé sur une série particulière : j'ai calculé le rayon de convergence puis la somme de la série en certain point du cercle limite.
Le couplage que j'ai pioché était loin d'être très favorable pour moi, donc j'ai utilisé principalement le Gourdon pour mon plan, et ça a abouti à un plan modeste, et donc des questions de niveau modeste également.
Très apaisant et bienveillant, même si j'ai été très laborieux à de nombreuses reprises. Ils sont peu intervenus dans mes phases de recherche, mais m'ont pas mal guidé lorsque je faisais des calculs — et ils m'ont un peu moqué quand j'ai dit que le sin(0) = 1…
RAS
7.25
243 : Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
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- sur le développement, on m'a demandé de trouver une CNS sur les coefficients du développement en série entière de f autour de 0 pour que f soit dans l'espace de Bergman (réponse : si $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$, la CNS est $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} n|a_n|^2 <+\infty$)
- une série entière de rayon de convergence 1 converge-t-elle uniformément sur tout le disque ? (c'est possible, cf $\sum \frac{z^n}{n^2}$, mais pas vrai en général, cf $\sum z^n$)
- dans le thème de cette question, on m'a demandé de déterminer les $z$ de module 1 tels que $\sum \frac{z^n}{n}$ converge (faire une transformation d'Abel)
- quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum \left(\frac{(-1)^n}{n}+\frac{cos n}{n!}\right) z^n$ ?
Le jury était sympa mais insistant quand je ne trouvais pas, ils aidaient pas mal.
Pas de réponse fournie.
8.75
243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
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J'ai eue des questions sur le plan (notamment sur des propositions fausses que j'ai corrigé à l'oral) et sur la convergence de mes contre exemples de séries qui convergeaient ou non sur leur disque de convergence (trouvé dans le Hauchecorne)
Plutôt pas content mais pas méchants. Le jury a pas du tout apprécié l'exemple du Gourdon d'utilisation du théorème d'Abel car il y a plus simple que ça pour le résoudre (et il me l'on demandé en questions). Aussi, du au stress j'ai mal définis les Ek dès le début de mon développement donc ils m'ont arrété (et redemandé une définition plus rigoureuse en nommant mes partitions à la fin du développement). Aussi, ça a perturbé le jury que mes indices k et n soient inversés àla fin de ma preuve par rapport à l'énoncé.
Mon développement à duré trop longtemps (17 min avec leur intervention) mais ils me l'on dit et m'ont laisser quand même conclure (donc c'est cool, ils étaient pas à la minute près). Sinon c'est long 20 min de questions, ça ressemble beaucoup aux oraux de concours je trouve.
PS: j'ai pas encore ma note (je pense que ça se voit)
20
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Pas de réponse fournie.
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Que exercices sur le plan.
Une variable aléatoire discrète admettant des moments à tout ordre est-elle caractérisée par ses moments? (en rapport avec les séries génératrices)
Calculer $\sum_{1}^{+ \infty} \frac{(-1)^n}{n}$
Si f est DSE en 0 avec un RCV de 1, est-elle DSE en 1/2? Quel est le RCV?
Connaissez-vous une autre démonstration du théorème de d'Alembert que celle à partir du théorème de Liouville? (avec des outils plus simples)
Pas de réponse fournie.
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243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
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Sur le plan puis quelques exos.
- prouver le critère d'Abel implique celui de Cauchy
- si $f$ est DSE de rayon de convergence $R\textgreater0$ et si $r\textlesserR$, calculer $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left|\ f\left(r\ e^{i\theta}\right) \right|^{2} \, \mathrm{d}\theta$
Dans le cas où $R\textgreater1$ et les coefficients du DSE sont entiers, montrer que $f$ est un polynôme
- si $\Sigma\ a_{n}z^{n}$ a un rayon de convergence non nul, que peut-on dire de celui de $\Sigma\ \frac{a_{n}z^{n}}{n!}$ ?
- époque et motivation des séries entières ?
Jury très agréable et souriant.
Pas de réponse fournie.
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