Leçon 243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

(2018) 243

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 243 - Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.) Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule de Cauchy-Hadamard. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est $R$ est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes ($\exp$, $\log$, $1/(1-z)$, $\sin$,...). S’agissant d’exemples fondamentaux et classiques, le jury attend que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de 0 sont souvent méconnus. Le comportement de la série entière dans le disque de convergence vis à vis des différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) doit être maîtrisé. Le théorème d’Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On pourra aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière.

(2016 : 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications. ) Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule de Cauchy-Hadamard. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est R est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes ($\exp$, $\log$, $1/(1-z)$, $\sin$, ...). Le jury attend également que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de 0 sont souvent méconnus. Le théorème d’Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On pourra aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière.
(2015 : 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.) Le théorème d'Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d'exercices pertinents. Il est regrettable de voir beaucoup de candidats qui maîtrisent raisonnablement les classiques du comportement au bord du disque de convergence traiter cette leçon en faisant l'impasse sur la variable complexe. C'est se priver de beaux exemples d'applications ainsi que du théorème de composition, pénible à faire dans le cadre purement analytique et d'ailleurs très peu abordé. Le jury attend aussi que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu'une série entière en $0$ dont le rayon de convergence est $R$ est développable en série entière en $0$ en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série.
(2014 : 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.) Il est regrettable de voir beaucoup de candidats qui maîtrisent raisonnablement les classiques du comportement au bord du disque de convergence traiter cette leçon en faisant l'impasse sur la variable complexe. C'est se priver de beaux exemples d'applications ainsi que du théorème de composition, pénible à faire dans le cadre purement analytique et d'ailleurs très peu abordé.

Développements :

Plans/remarques :

2018 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.


2017 : Leçon 243 - Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.


2016 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Hardy

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    — Un membre du jury m'a posé une question sur développement, relative à un théorème d'interversion limite simple/série, il y avait des histoires de convergences uniformes.
    — Ensuite, ils sont passés aux questions. On a parlé de rayon de convergence de la somme de deux séries entières, et ils m'ont fait examiner la valeur de la somme de deux séries sur la couronne où l'une converge mais pas l'autre.
    — Enfin, on a travaillé sur une série particulière : j'ai calculé le rayon de convergence puis la somme de la série en certain point du cercle limite.

    Le couplage que j'ai pioché était loin d'être très favorable pour moi, donc j'ai utilisé principalement le Gourdon pour mon plan, et ça a abouti à un plan modeste, et donc des questions de niveau modeste également.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très apaisant et bienveillant, même si j'ai été très laborieux à de nombreuses reprises. Ils sont peu intervenus dans mes phases de recherche, mais m'ont pas mal guidé lorsque je faisais des calculs — et ils m'ont un peu moqué quand j'ai dit que le sin(0) = 1…

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS

  • Note obtenue :

    7.25


2017 : Leçon 243 - Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    204 : Connexité. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Espace de Bergman du disque unité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - sur le développement, on m'a demandé de trouver une CNS sur les coefficients du développement en série entière de f autour de 0 pour que f soit dans l'espace de Bergman (réponse : si $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$, la CNS est $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} n|a_n|^2 <+\infty$)
    - une série entière de rayon de convergence 1 converge-t-elle uniformément sur tout le disque ? (c'est possible, cf $\sum \frac{z^n}{n^2}$, mais pas vrai en général, cf $\sum z^n$)
    - dans le thème de cette question, on m'a demandé de déterminer les $z$ de module 1 tels que $\sum \frac{z^n}{n}$ converge (faire une transformation d'Abel)
    - quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum \left(\frac{(-1)^n}{n}+\frac{cos n}{n!}\right) z^n$ ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était sympa mais insistant quand je ne trouvais pas, ils aidaient pas mal.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    8.75


2016 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nombres de Bell

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai eue des questions sur le plan (notamment sur des propositions fausses que j'ai corrigé à l'oral) et sur la convergence de mes contre exemples de séries qui convergeaient ou non sur leur disque de convergence (trouvé dans le Hauchecorne)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt pas content mais pas méchants. Le jury a pas du tout apprécié l'exemple du Gourdon d'utilisation du théorème d'Abel car il y a plus simple que ça pour le résoudre (et il me l'on demandé en questions). Aussi, du au stress j'ai mal définis les Ek dès le début de mon développement donc ils m'ont arrété (et redemandé une définition plus rigoureuse en nommant mes partitions à la fin du développement). Aussi, ça a perturbé le jury que mes indices k et n soient inversés àla fin de ma preuve par rapport à l'énoncé.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Mon développement à duré trop longtemps (17 min avec leur intervention) mais ils me l'on dit et m'ont laisser quand même conclure (donc c'est cool, ils étaient pas à la minute près). Sinon c'est long 20 min de questions, ça ressemble beaucoup aux oraux de concours je trouve.
    PS: j'ai pas encore ma note (je pense que ça se voit)

  • Note obtenue :

    20


2015 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    217 : Sous-variétés de $R^n$. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème taubérien fort

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Que exercices sur le plan.

    Une variable aléatoire discrète admettant des moments à tout ordre est-elle caractérisée par ses moments? (en rapport avec les séries génératrices)

    Calculer $\sum_{1}^{+ \infty} \frac{(-1)^n}{n}$

    Si f est DSE en 0 avec un RCV de 1, est-elle DSE en 1/2? Quel est le RCV?

    Connaissez-vous une autre démonstration du théorème de d'Alembert que celle à partir du théorème de Liouville? (avec des outils plus simples)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le plan puis quelques exos.
    - prouver le critère d'Abel implique celui de Cauchy

    - si $f$ est DSE de rayon de convergence $R\textgreater0$ et si $r\textlesserR$, calculer $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left|\ f\left(r\ e^{i\theta}\right) \right|^{2} \, \mathrm{d}\theta$

    Dans le cas où $R\textgreater1$ et les coefficients du DSE sont entiers, montrer que $f$ est un polynôme

    - si $\Sigma\ a_{n}z^{n}$ a un rayon de convergence non nul, que peut-on dire de celui de $\Sigma\ \frac{a_{n}z^{n}}{n!}$ ?

    - époque et motivation des séries entières ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable et souriant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.