Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Fonction C infini non triviale telle que f(x)^x = x^f(x)

Pommelet p.291, il y a quelques typos dans le bouquin.
Madère (analyse) p.119, présenté comme un développement.

Je pense que ma version ne vaut pas grand chose, mais si ça peut aider...

Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein

Il faut savoir pourquoi ça marche pas dans R

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Même si on ne fait cela en développement, il me semble indispensable de connaître les démonstrations de ces théorèmes fondamentaux.
En 15 minutes, je ne parvenais pas à faire les 3 équivalences de Riesz, je ne faisais que 1) équivalent à 2) en expliquant rapidement pourquoi les fermés bornés sont compacts en dimension finie (Bolzano-Weierstrass et extractions successives)

Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Mis à jour le 14.05.17

Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Mis à jour le 14.05.17

Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.

Mis à jour le 18.05.17

Exemples de parties denses et applications.

Mis à jour le 19.05.17

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Exemples de parties denses et applications.

Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de compacité.

Espaces complets. Exemples et applications.

Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Continuité, dérivabilité, dérivation faible des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Grâce à la dérivation faible, cette leçon est passée de pénible et barbante à potentiellement occasion de briller !

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de compacité.

Connexité. Exemples et applications.

Espaces complets. Exemples et applications.

Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n . Exemples et applications.

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de compacité.

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de compacité.

Plan réalisé durant un oral blanc de fin d'année (j'avais préparé la leçon durant l'année, quand même). On peut aller bien plus loin, mais l'exemple 37 est déjà une porte ouverte à bien trop de questions d'analyse spectrale… (cf. plan de EWna)

L'application 30 est un exemple en lien avec un de mes devs pour une autre leçon, il est assez drôle de recaser ainsi du savoir, pour de potentielles questions à l'oral, surtout pour une leçon d'exemples comme celle-ci.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. Si j'étais tombée dessus le jour du vrai oral, j'aurais mis plus d'applications (notamment l'inégalité de Hoeffding).

Utilisation de la notion de compacité.

J'aime beaucoup la compacité, donc je me suis un peu éclaté en mettant des opérateurs compacts, le théorème de Montel et ses conséquences... On n'est évidemment pas obligé de mettre tout ça. Maintenant, comme c'est une leçon sur L'UTILISATION de la notion de compacité... Je pense qu'il faut en mettre un peu quand même !
Par exemple Ascoli me semble incontournable ! Et si on met Ascoli... On peut bien mettre un peu d'opérateurs compacts ! Sachant qu'ici je n'ai mis que les choses de base sur ces objets, je ne suis pas allé vers la théorie spectrale.
Attention avec la dimension finie à ne pas faire "le serpent qui se mord la queue"... Il faut d'abord montrer que les normes sont équivalentes en utilisant la compacité de la sphère qui se justifie par Bolzano-Weierestrass (et extraction diagonale) ! Puis on montre le théorème de Riesz...
Si cela fait longtemps qu'on n'a pas trop manipulé de compacité, il convient de refaire quelques exercices car les arguments de compacité peuvent être parfois un peu futés...
Une chose qu'il faut bien savoir justifier : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$, la distance de tout élément de $E$ à $F$ est atteinte !