Dernier rapport du Jury :
(2019 : 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.)
Cette leçon de synthèse offre de très nombreuses orientations possibles et le choix du niveau auquel se place le candidat doit être bien clair. Il ne faut pas hésiter à commencer par des exemples très simples tels que le prolongement en 0 de la fonction $x\mapsto \sin(x)/x$ avec des exemples d’utilisations, mais il faut aller plus loin que le simple prolongement par continuité. Trop de candidats ne connaissent pas bien les résultats élémentaires autour du prolongement par continuité en un point d’une fonction d’une variable réelle, ou les résultats autour du prolongement $C^1$ (lorsque la dérivée a une limite par exemple). $\\$ Pour aller plus loin, le prolongement analytique relève bien sûr de cette leçon, et des exemples sur des fonctions classiques ($\zeta$,$\Gamma$,...) seront appréciés. On peut également parler de l’extension à $L^2$, voire à l’espace des distributions tempérées, de la transformation de Fourier. Le théorème de Hahn-Banach, dans le cas séparable voire simplement en dimension finie, peut être un exemple de résultat très pertinent. La résolution d’un problème de Dirichlet, correctement formulé, associé à une équation aux dérivées partielles classique, vu comme prolongement de la donnée au bord, peut être envisagée.
Autres rapports
+
(2017 : 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.)
Il ne faut pas hésiter à commencer par des exemples très simples tels que le prolongement en 0 de la fonction $x \longmapsto \frac{\sin(x)}{x}$, mais il faut aller plus loin que le simple prolongement par continuité. Le prolongement par densité de certains résultats (comme la continuité de l’opérateur de translation dans $L^p$)
et le prolongement analytique relèvent bien sûr de cette leçon. Le prolongement éventuel de la somme d’une série entière sur le bord du disque est une notion qui doit être maîtrisée.
Pour aller plus loin, on peut par exemple parler de l’extension à $L^2$ de la transformation de Fourier. Le héorème de Hahn-Banach, dans le cas séparable, peut être un exemple de résultat très pertinent.
(2016 : 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.)
Il ne faut pas hésiter à commencer par des exemples très simples tels que le prolongement en 0 de la fonction $x \longmapsto \sin(x)/x$ , mais il faut aller plus loin que le simple prolongement par continuité. Le prolongement par densité et le prolongement analytique relèvent bien sûr de cette leçon. Pour aller plus loin, on peut par exemple parler de l’extension à $L^2$ de la transformation de Fourier. En ce qui concerne le théorème de Hahn-Banach, le candidat n’en donnera la version la plus générale que s’il peut s’aventurer sur le terrain délicat du lemme de Zorn. Rappelons que l’on peut aussi s’en dispenser pour justifier le théorème de Hahn-Banach de façon plus élémentaire dans le cas séparable.
(2015 : 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.)
Il ne faut pas hésiter à commencer par des exemples très simples tel que le prolongement en la fonction $x \longmapsto \frac{\sin(x)}{x}$. Les candidats exploitent rarement toutes les potentialités de cette leçon très riche. Le jury se réjouirait aussi que les candidats abordent les notions de solution maximale pour les équations différentielles ordinaires et maîtrisent le théorème de sortie des compacts.
Le prolongement analytique relève bien sûr de cette leçon ainsi que le prolongement de fonctions $C^infty$ sur un segment en fonctions de la même classe, le théorème de Tietze sur l'extension des fonctions continues définies sur un sous-ensemble fermé d'un espace métrique et la transformation de Fourier sur $L^2$.
En ce qui concerne le théorème d'Hahn-Banach, le candidat n'en donnera la version en dimension infinie que s'il peut s'aventurer sans dommage sur le terrain délicat et très souvent mal maîtrisé du lemme de Zorn. Il vaut mieux disposer d'applications pertinentes autres que des résultats classiques abstraits sur les duaux topologiques.
(2014 : 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.)
Les candidats exploitent rarement toutes les potentialités de cette leçon très riche.
Le jury se réjouirait aussi que les candidats abordent les notions de solution maximale pour les équations différentielles ordinaires et maîtrisent le théorème de sortie des compacts.
Le prolongement analytique relève bien-sûr de cette leçon ainsi que le prolongement de fonctions $\mathcal{C}^\infty$ sur un segment en fonctions de la même classe, le théorème de Tietze sur l'extension des fonctions continues définies sur un sous-ensemble fermé d'un espace métrique, la transformation de Fourier sur $L^2$ et l'extension des fonctions Lipschitziennes définies sur un sous-ensemble (pas nécesairement dense) d'un espace métrique.
En ce qui concerne le théorème d'Hahn-Banach, le candidat n'en donnera la version en dimension infinie que s'il peut s'aventurer sans dommage sur le terrain très souvent mal maîtrisé du lemme de Zorn. Il vaut mieux disposer d'applications pertinentes autre que des résutats classiques abstraits sur les duaux topologiques.
