Développement : Théorème des lacunes d'Hadamard

Détails/Enoncé :

Soit $(\lambda_n)_{ n \ge 0}$ une suite croissante d'entiers telle que pour tout $n \ge 0$ on ait $\lambda_{n+1}/\lambda_n \ge \alpha > 1$.

Soit $f(z) = \sum_{n \ge 0} a_n z^{\lambda_n}$ une série entière de rayon de convergence égal à $1$ qu'on dit lacunaire.

Alors tout point du cercle de module $1$ est singulier pour $f$. En d'autres termes pour tout $z$ de module $1$, pour tout ouvert contenant $\{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$ et $z$, il n'existe pas de prolongement analytique de $f$ à cet ouvert.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Elements d'analyse pour l'agrégation , Zuily (utilisée dans 7 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 133 versions au total)