Leçon 207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.) Les candidats exploitent rarement toutes les potentialités de cette leçon très riche. Le jury se réjouirait aussi que les candidats abordent les notions de solution maximale pour les équations différentielles ordinaires et maîtrisent le théorème de sortie des compacts. Le prolongement analytique relève bien-sûr de cette leçon ainsi que le prolongement de fonctions $\mathcal{C}^\infty$ sur un segment en fonctions de la même classe, le théorème de Tietze sur l'extension des fonctions continues définies sur un sous-ensemble fermé d'un espace métrique, la transformation de Fourier sur $L^2$ et l'extension des fonctions Lipschitziennes définies sur un sous-ensemble (pas nécesairement dense) d'un espace métrique. En ce qui concerne le théorème d'Hahn-Banach, le candidat n'en donnera la version en dimension infinie que s'il peut s'aventurer sans dommage sur le terrain très souvent mal maîtrisé du lemme de Zorn. Il vaut mieux disposer d'applications pertinentes autre que des résutats classiques abstraits sur les duaux topologiques.

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Développements :

• Théorème de Fourier-Plancherel
• Équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann
• Prolongement de la fonction Zeta de Riemann
• Théorème des lacunes d'Hadamard
• Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)
• Théorème de Borel
• Caractères linéaires continues de U [ref]
• Méthode de Laplace
• Prolongement des caractères [ref]

Plans/remarques :

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :