Développement : Méthode de Laplace

Détails/Enoncé :

Soit $I = ]a,b[$ un intervalle de $\mathbb{R}$ borné ou non. Soit $\varphi \in C^2(I, \mathbb{R}) , f \in C( I, \mathbb{C})$. On suppose que

$$ \forall t > 0 , \int_a^b e^{t \varphi(x)} | f(x)|dx < +\infty $$

que $\varphi'$ ne s'annule qu'en un point $x_0$ et que $\varphi''(x_0) < 0$.

que $f(x_0) \not=0$.

Alors on a l'équivalent trop hype :

$$ F(t) = \int_a^b e^{t \varphi(x)} f(x) dx \sim_{t \to +\infty} \sqrt{ \frac{ 2\pi}{t |\varphi''(x_0)|} } e^{t \varphi(x_0)} f(x_0) $$

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 136 versions au total)