Profil de tchen

Simplicité du groupe alterné An

Développement :
Simplicité du groupe alterné An
Remarque :
Mixte Perrin et Rombaldi. Attention au lemme sur les 5-cycles. Il n'est pas dans les références car je le fais sans les Sylow.

Leçons 103, 104, 105, 108, 190
Références :
- Cours d'algèbre , Perrin
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- An_simple.pdf

Automorphismes de Sn

Développement :
Automorphismes de Sn
Remarque :
Mixte FGN et Perrin.

Je le choisis seulement pour avoir un deuxième développement pour la 105 mais ça se recase ailleurs.
Références :
- Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- Automorphisme_de_Sn.pdf

Co-trigonalisation d'une famille finie d'endomorphismes

Développement :
Co-trigonalisation d'une famille finie d'endomorphismes
Remarque :
Cotrigonalisation par la dualité. J'ai ajouté une petite application venant du sujet MG 2024.

Je le mets seulement dans 159 mais ça se recase.
Référence :
- Algèbre , Gourdon
Fichier :
- Cotrigonalisation.pdf

Densité des matrices diagonalisables

Développement :
Densité des matrices diagonalisables
Remarque :
Densité des matrices diagonalisables + Cayley-Hamilton. C'est quand même bien de connaître une preuve de CH sans topologie à mon avis.

Je l'utilise seulement pour la leçon 152 mais peut-être d'autres.
Références :
- Tout-en-un MP/MP* MPI/MPI*, Claude Deschamps, François Moulin, et al.
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- densite_matrices_diagonalisables.pdf

Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard

Développement :
Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard
Remarque :
Leçon 149, 161, 191
Référence :
- Algèbre , Gourdon
Fichier :
- determinant_gram_hadamard.pdf

Dunford et l'exponentielle de matrice

Développement :
Dunford et l'exponentielle de matrice
Remarque :
Je le mets dans 150, 151, 154, 155, 156. Je pense qu'il est important d'être super nickel quand on fait ce dev comme si on faisait un cours.

Je le fais avec des projecteurs.
Référence :
- Algèbre , Gourdon
Fichier :
- dunford.pdf

Forme normale de Smith

Développement :
Forme normale de Smith
Remarque :
Peut-être faire une application. Je dirai d'abord sur les GATF avant de faire Frobenius mais chacun ses goûts.

Je fais la preuve dans le cas euclidien.

Leçons 122, 142 (pour l'unicité), 162.
Référence :
- Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
Fichier :
- forme_normale_de_Smith.pdf

Réduction de Jordan (par la dualité)

Développement :
Réduction de Jordan (par la dualité)
Remarque :
Je le mets seulement pour la 148 et 159 mais ça se recase facile. Il faut savoir en déduire le théorème de réduction de Jordan.
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Jordan_nilpotent.pdf

Loi de réciprocité quadratique

Développement :
Loi de réciprocité quadratique
Remarque :
Je le fais sans les formes quadratiques. Serre va parfois vite, il faut l'avoir préparé en amont.

Leçon 120, 121, 123.
Référence :
- Cours d'arithmétique , Serre
Fichier :
- loi_de_reciprocite_quadratique.pdf

Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace

Développement :
Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace
Remarque :
Un critère classique et une application. Un sujet de MG démontre aussi ce critère.

Leçon 156 et 162.
Fichier :
- nilpotent_trace_nulle.pdf

Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

Développement :
Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
Remarque :
Super classique. Je le mets dans 102, 120, 141, 144. Pour la 102 et la 120, la cyclotomie est un thème que l'on peut évoquer donc ça se défend.

Perrin va un peu vite de temps en temps, je détaille bien les étapes.
Référence :
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- polynomes_cyclotomiques.pdf

Polynômes irréductibles sur Fq

Développement :
Polynômes irréductibles sur Fq
Remarque :
Bien lire le document pour choisir sa référence, il y en a pour tous les goûts !

Je le mets pour la 123, 125 et 141. Pour la 125, Francinou-Gianella/Demazure me parait incontournable.
Références :
Fichier :
- polynomes_irreductibles_sur_Fq.pdf

Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien

Développement :
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
Remarque :
Pour les leçons 106, 148, 150, 151, 152, 157, 158 car il est facile de démontrer le théorème de classification des isométries + le théorème spectral avec. Pour la 152, outre le théorème spectral, on fait un peu de polynômes d'endomorphismes.

J'ai utilisé le Rombaldi mais en cas de doute, on peut aussi lire le Gourdon. Par contre, j'ai bricolé une version un peu plus directe.
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Algèbre , Gourdon
Fichier :
- reductions_normaux.pdf

Théorème de Liapounov

Développement :
Théorème de Liapounov
Remarque :
Tout comme Rouvière sauf le début où une réduction de Dunford termine le lemme.

Leçon 155, 220, 221
Référence :
- Petit guide de calcul différentiel , Rouvière
Fichier :
- stabilite_Liapounov.pdf

Théorème de Sylow (version opération de groupes)

Développement :
Théorème de Sylow (version opération de groupes)
Remarque :
Si on veut faire Sylow, il est important de savoir l'appliquer. Faire les exercices du Perrin, la plupart corrigé chez Ortiz ou Francinou-Gianella me parait indispensable.

Je fais les trois théorèmes comme Perrin. Il faut être au clair sur les actions de groupes si on veut aller vite.

Leçons 101, 103, 104, 190.
Référence :
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- sylow.pdf

Décomposition polaire

Développement :
Décomposition polaire
Remarque :
Je le fais sans les polynômes de Lagrange. L'idée des sous-espaces propres est beaucoup plus naturelle.

Leçons 106, 154, 157, 158
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
Fichier :
- Décomposition polaire.pdf

Suites de Sturm

Développement :
Suites de Sturm
Remarque :
Il se case dans 142 et 144 donc ça me suffit amplement. Il est pas dur mais faut bien le préparer et surtout être propre et détailler les zones d'ombres du FGN. Ne pas hésiter à le tester sur un polynôme de degré 3 pour illustrer le théorème.
Référence :
- Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Théorème de Sturm.pdf

L'anneau Z[1+i sqrt(19) sur 2]

Développement :
L'anneau Z[1+i sqrt(19) sur 2]
Remarque :
Perrin va vite. D'ailleurs, ce développement est long. Peut-être admettre le lemme sur la pseudo-division euclidienne et détailler la commutation des quotients à la place.
Référence :
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- Z[1+i sqrt(19) sur 2].pdf

Convergence d'une suite lente

Développement :
Convergence d'une suite lente
Remarque :
C'est calculatoire et pas compliqué si on aime le calcul.

Je le mets dans 223, 224, 226.
Référence :
- Elements d'analyse réelle , Rombaldi
Fichier :
- Convergence_suite_lente.pdf

Lemme de la grenouille

Développement :
Lemme de la grenouille
Remarque :
Il est fondamental de faire un dessin et de bien expliquer les constructions !

Sinon, c'est assez sympa à faire mais faut l'avoir préparer. Je le mets dans 204, 223, 226.
Références :
- Analyse , Gourdon
- Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Lemme_grenouille.pdf

Développement asymptotique de la série harmonique

Développement :
Développement asymptotique de la série harmonique
Remarque :
Je vais jusqu'à un $o(1/n^3)$ car c'est un $0$. C'est que du calcul, je ne le prends pas mais c'est un développement pas compliqué mais qu'il faut savoir faire de toute façon à mon avis.
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Dvpt_serie_harmonique.pdf

Inégalité de Kolmogorov pour les fonctions

Développement :
Inégalité de Kolmogorov pour les fonctions
Remarque :
Je le mets dans 218. Attention, c'est très technique. Il faut l'avoir préparé.
Fichier :
- Ineg_kolmogorov.pdf

Une classe de séries lacunaires sans dérivées

Développement :
Une classe de séries lacunaires sans dérivées
Remarque :
Très cool comme développement mais il faut l'avoir préparer. Je le prends pour 228, 246, 250.
Référence :
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- famille_continues_non_derivables.pdf

Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité

Développement :
Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité
Remarque :
C'est un développement maison, attention. On peut trouver des trucs dans Gourdon et Carnet de voyage en Analystan mais je n'ai pas vraiment cherché.

Je le prends pour 229, 239, 244.
Références :
- Analyse , Gourdon
- Carnet de voyage en Analystan, Caldero
Fichier :
- Gamma_Caract.pdf

Théorème de Lévy et TCL

Développement :
Théorème de Lévy et TCL
Remarque :
Je fais un petit lemme + Paul Levy + TCL. Attention à bien mettre les items préliminaires dans le plan !

Je le prends pour 261 et 262.
Référence :
- Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
Fichier :
- PaulLevy_TCL.pdf

Théorème de la limite simple de Baire

Développement :
Théorème de la limite simple de Baire
Remarque :
Je le prends pour 205 et 228. C'est un classique.
Référence :
- Analyse , Gourdon
Fichier :
- Limite_simple_Baire.pdf

Théorème de Stone-Weierstrass

Développement :
Théorème de Stone-Weierstrass
Remarque :
Un classique. Je le prends en 201, 203, 209.
Référence :
- Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch
Fichier :
- Stone_Weierstrass.pdf

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Développement :
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Remarque :
C'est un classique. Je le prends pour 201, 205, 234.
Référence :
- Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim
Fichier :
- Lp_complet.pdf

Projection sur un convexe fermé

Développement :
Projection sur un convexe fermé
Remarque :
Un classique. Je le prends pour 208, 213, 219, 253.
Référence :
- Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch
Fichier :
- Proj_cvxe_ferme.pdf

Polynômes de meilleure approximation uniforme

Développement :
Polynômes de meilleure approximation uniforme
Remarque :
Assez technique. Je préfère la version de Demailly. Je le prends seulement pour la 206 mais la 209 est très bien.
Référence :
- Analyse numérique et équation différentielle , Demailly
Fichier :
- Pol_meilleur_approx.pdf

Méthode de Laplace

Développement :
Méthode de Laplace
Remarque :
Je fais la version du Gourdon. Technique mais ça va. Je le mets seulement pour la 224 mais ça se mets ailleurs !
Référence :
- Analyse , Gourdon
Fichier :
- Methode_Laplace.pdf

Loi forte des grands nombres L^2

Développement :
Loi forte des grands nombres L^2
Remarque :
Un développement pour compléter ma leçon 262. Comme dit Florian Dussap, il y a une erreur dans le Garet-Kurtzmann.
Référence :
- De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
Fichier :
- LFGN.pdf

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Développement :
Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières
Remarque :
Je le mets pour 243, 245, 261, 264, 266. Tout est dans Queffelec-Queffelec avec un lemme préliminaire puis le théorème.
Référence :
- Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec
Fichier :
- indecomposabilite_poisson.pdf

Formule des compléments

Développement :
Formule des compléments
Remarque :
Le Stein Shakarchi présente une méthode utilisant un théorème des résidus sur un rectangle.

Je le mets dans 236 et 245.
Référence :
- Complex analysis, Stein, Shakarchi
Fichier :
- Complements.pdf

Équation de la chaleur sur le cercle

Développement :
Équation de la chaleur sur le cercle
Remarque :
Peut-être un développement plus simple pour ceux qui font option B.

Je le mets dans 235, 241, 246.
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Equation_chaleur_periodique.pdf

Intégrale de Dirichlet

Développement :
Intégrale de Dirichlet
Remarque :
Il faut aller vite si on veut bien le présenter. La continuité en $0$ est faite maison, je n'ai pas trouvé ailleurs (dites-moi si vous trouvez !)
Références :
- Analyse , Gourdon
- Oraux X-ENS Analyse 3, Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Dirichlet.pdf

Algorithme du gradient à pas optimal

Développement :
Algorithme du gradient à pas optimal
Remarque :
Attention à bien regarder ce qu'on démontre, il y a plusieurs type d'énoncé plus ou moins forts. Peut-être plus simple pour ceux qui ont fait option B.

Je le mets dans 219, 229, 253.
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Descente_gradient.pdf

Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)

Développement :
Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)
Remarque :
C'est trop classique pour le jury. Pour le prendre, il faut être béton ! Je le prends pour 213, 234, 250.
Référence :
- Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
Fichier :
- Densite_polynomes_orthogonaux.pdf

Connexité de $\mathbb{R}$, TVI, TAF, applications

Développement :
Connexité de $\mathbb{R}$, TVI, TAF, applications
Remarque :
C'est un développement juste pour la connexité qui démontre des résultats fondamentaux du plan, bien qu'élémentaire (ce n'est pas pour autant facile). On trouve des choses similaires dans le Gourdon.
Référence :
- Analyse , Gourdon
Fichier :
- Convexite_R.pdf

Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel

Développement :
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
Remarque :
EDL avec des séries entières + Fonction de Bessel + pseudo-unicité.

Je le mets dans 221 et 243.
Référence :
- Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas
Fichier :
- Bessel.pdf

Fonction zeta et nombres premiers

Développement :
Fonction zeta et nombres premiers
Remarque :
Etude de la fonction de zeta (qui est une série de fonctions !) et, avec des probabilités, la divergence de la série des inverses des nombres premiers
Références :
- Analyse , Gourdon
- Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer

Profil de tchen

Informations :

Ses versions de développements :

Simplicité du groupe alterné An

Automorphismes de Sn

Co-trigonalisation d'une famille finie d'endomorphismes

Densité des matrices diagonalisables

Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard

Dunford et l'exponentielle de matrice

Forme normale de Smith

Réduction de Jordan (par la dualité)

Loi de réciprocité quadratique

Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace

Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

Polynômes irréductibles sur Fq

Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien

Théorème de Liapounov

Théorème de Sylow (version opération de groupes)

Décomposition polaire

Suites de Sturm

L'anneau Z[1+i sqrt(19) sur 2]

Convergence d'une suite lente

Lemme de la grenouille

Développement asymptotique de la série harmonique

Inégalité de Kolmogorov pour les fonctions

Une classe de séries lacunaires sans dérivées

Caractérisation réelle de Gamma avec la log convexité

Théorème de Lévy et TCL

Théorème de la limite simple de Baire

Théorème de Stone-Weierstrass

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Projection sur un convexe fermé

Polynômes de meilleure approximation uniforme

Méthode de Laplace

Loi forte des grands nombres L^2

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Formule des compléments

Équation de la chaleur sur le cercle

Intégrale de Dirichlet

Algorithme du gradient à pas optimal

Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)

Connexité de $\mathbb{R}$, TVI, TAF, applications

Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel

Fonction zeta et nombres premiers

Ses plans de leçons :