Développement : Inégalité de Kolmogorov pour les fonctions

Détails/Enoncé :

Pour une fonction $f : \mathbb{R}\to\mathbb{C}$, si $f^{(n)}$ existe et est bornée, on note $M_n = \Vert f^{(n)}\Vert_\infty$.

On montre ce qui suit.

1) Soit $f \in\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$. On suppose que $f,f''$ sont bornées sur $\mathbb{R}$. Alors
$$
M_1\le \sqrt{2M_0M_2}.
$$

2) Soit $f \in\mathcal{C}^n(\mathbb{R},\mathbb{C})$. On suppose que $M_0$ et $M_n$ sont finis. Alors pour tout $k\in [\![0,n]\!]$, $M_k$ est fini et
$$
M_k \le 2^\frac{k(n-k)}{2}M_0^{1-\frac{k}{n}}M_n^{\frac{k}{n}}.
$$

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