Développement : Développement asymptotique de la série harmonique

Détails/Enoncé :

Soit $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.

Il existe $\gamma > 0$ tel que $H_n -\ln(n) \to \gamma$.

$H_n = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} + o(1/n)$

On pose $h_n = \min\{ k \in \mathbb{N} : H_k \ge n\}$. Alors $h_{k+1}/h_k \to e$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    Pour la leçon 230.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Recasages: 224, 230

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    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/5830589f-b36f-44a9-9da7-e72594c97973/Developpement_asymptotique_de_la_serie_harmonique.pdf?id=b416f33e-e785-4b34-aca7-db16eaba852b&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=U7lkhhT1I2YNWxxV1N-Csqveikp2he9237ZnsJDaqlI&downloadName=Développement+asymptotique+de+la+série+harmonique.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    Un développement classique mais qui est, à mon sens, le prototype du développement attendu à l'oral. Un peu calculatoire, donc à ne pas découvrir le jour de l'oral !

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
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    Bon... Développement d'un intérêt faible à modéré à mon goût, mais il faut bien des développements pour la leçon sur les développements asymptotiques.

    Côté recasages à mon avis:
    Développements asymptotiques
    Séries de nombres réels et complexes

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 57 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 152 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 604 versions au total)
Oraux X ENS 3 (nouvelle édition), Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 2 versions au total)