Leçon 224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Dernier rapport du Jury :

(2016 : 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.) Cette leçon doit permettre aux candidats d’exprimer leur savoir-faire sur les techniques d’analyse élémentaire que ce soit sur les suites, les séries ou les intégrales. On peut par exemple établir un développement asymptotique à quelques termes des sommes partielles de la série harmonique, ou bien la formule de Stirling que ce soit dans sa version factorielle ou pour la fonction Γ. On peut également s’intéresser aux comportements autour des singularités de fonctions spéciales célèbres. Du côté de l’intégration, on peut évaluer la vitesse de divergence de l’intégrale de la valeur absolue du sinus cardinal, avec des applications pour les séries de Fourier ; voire présenter la méthode de Laplace. Par ailleurs, le thème de la leçon permet l’étude de suites récurrentes (autres que $u_{n+1} = \sin(u_n)$), plus généralement de suites ou de fonctions définies implicitement, ou encore des études asymptotiques de solutions d’équations différentielles (sans résolution explicite).

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Développements :

• Suite récurrente : convergence lente
• Développement asymptotique de la série harmonique
• Théorème de Sturm
• Étude qualitative de x' = x^2 - t
• Méthode de Newton pour les polyômes
• Méthode de Laplace
• Partition d'un entier en parts fixées

Plans/remarques :

2016 : Leçon 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :