Développement : Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard

Détails/Enoncé :

Pour E un espace préhilbertien, V un s-ev muni d'une base $\{ e_1,...,e_n\}$, et $x \in E$, on a :
$dist(x,V)^2 = \frac{G(e_1,...,e_n,x)}{G(e_1,..,e_n)}$
où $G(f_1,...,f_m) := det( (\langle f_i,f_j \rangle)_{i,j} )$ est le déterminant de la matrice de Gram associée à $\{f_1,..,f_m\}$.

Ref : Gourdon X., Algèbre, p.259

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Recasages: 152, 161

    Pages 275 & 273 (v3)

    Inspiré de abarrier.

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Je recase ce développement dans 149 (Déterminant) et 161 (Distances, isométries). Je suis également d'accord avec le recasage dans 191.
    Dans les références que j'ai trouvées, les choses ne sont pas faites tout à fait correctement, surtout le cas d'égalité dans l'inégalité d'Hadamard. J'ai présenté ce développement devant un ami en justifiant simplement à l'aide de ce que j'ai souligné en noir sur la 2e page et il m'a fait remarquer que ce n'était pas trivial... On a ensuite fait le détail que j'ai recopié en dessous.
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Attention aux éventuelles coquilles.

    Pas de ref pour les inégalités de Hadamard (à connaître), il y'en a une l'énoncé est dans le Gourdon algèbre.

    Je recase dans 149, 157, 161.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 333 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 77 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 97 versions au total)