Leçon 149 : Déterminant. Exemples et applications.

(2023) 152

Dernier rapport du Jury :

(2023 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il faut commencer par définir correctement le déterminant. et savoir démontrer ses propriétés fondamentales (en particulier le fait que l'espace des formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n est de dimension 1). La distinction entre le déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée et le déterminant d'un endomorphisme doit être comprise. L'interprétation en termes de volume est essentielle. Le calcul explicite est important, mais le jury ne peut se contenter d'un déterminant de Vandermonde ou d'un déterminant circulant. Les opérations élémentaires permettant de calculer des déterminants doivent être présentées et illustrées. Parmi les applications possibles, on peut citer le polynôme caractéristique, les déterminants de Gram (permettant des calculs de distances), le déterminant jacobien (utile en calcul intégral et en probabilités), donner des exemples d'utilisation du déterminant en géométrie (coordonnées barycentriques, colinéarité, etc.) ou son rôle dans l'étude des formes quadratiques. Il est bienvenu d'illustrer la continuité du déterminant par une application. On pourra aussi s'intéresser à sa différentielle. Pour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent s'intéresser aux calculs de déterminants sur Z. Le résultant et les applications simples à l'intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent aussi trouver leur place dans cette leçon pour des candidates et candidats ayant une pratique de ces notions.

(2022 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il faut commencer par définir correctement le déterminant. et savoir démontrer ses propriétés fondamentales (en particulier le fait que l'espace des formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n est de dimension 1). La distinction entre le déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée et le déterminant d'un endomorphisme doit être comprise. L'interprétation en termes de volume est essentielle. Le calcul explicite est important, mais le jury ne peut se contenter d'un déterminant de Vandermonde ou d'un déterminant circulant. Les opérations élémentaires permettant de calculer des déterminants doivent être présentées et illustrées. Le polynôme caractéristique est incontournable (on prendra garde que $A-X I_n$ est à coefficients dans $K[X]$ qui n'est pas un corps). Parmi les autres applications possibles, on peut penser aux déterminants de Gram (permettant des calculs de distances), au déterminant jacobien (utile en calcul intégral et en probabilités), à l'utilisation du déterminant en géométrie (coordonnées barycentriques, colinéarité, etc.) ou encore à son rôle dans l'étude des formes quadratiques. Il est bienvenu d'illustrer la continuité du déterminant par une application. On pourra aussi s'intéresser à sa différentielle. Pour aller plus loin, les candidats peuvent s'intéresser aux calculs de déterminants sur Z. Le résultant et les applications simples à l'intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent aussi trouver leur place dans cette leçon pour des candidats ayant une pratique de ces notions
(2019 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il faut commencer par définir correctement le déterminant et savoir démontrer ses propriétés fondamentales (en particulier le fait que l’espace des formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n est de dimension 1). La distinction entre le déterminant d’une famille de vecteurs dans une base donnée et le déterminant d’un endomorphisme doit être comprise. L’interprétation en termes de volume est essentielle. Le calcul explicite est important, mais le jury ne peut se contenter d’un déterminant de Vandermonde ou d’un déterminant circulant. Les opérations élémentaires permettant de calculer des déterminants doivent être présentées et illustrées. $\\$ Le polynôme caractéristique est incontournable (on prendra garde que $A - XI_n$ est à coefficients dans $\textbf{K}[X]$ qui n’est pas un corps). Parmi les autres applications possibles, on peut penser aux déterminants de Gram (permettant des calculs de distances), au déterminant jacobien (utile en calcul intégral et en probabilités), à l’utilisation du déterminant en géométrie (coordonnées barycentriques, colinéarité, etc.) ou encore à son rôle dans l’étude des formes quadratiques. Il est bienvenu d’illustrer la continuité du déterminant par une application. On pourra aussi s’intéresser à sa différentielle. $\\$ Pour aller plus loin, les candidats peuvent s’intéresser aux calculs de déterminants sur $\textbf{Z}$. Le résultant et les applications simples à l’intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent aussi trouver leur place dans cette leçon pour des candidats ayant une pratique de ces notions.
(2017 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il faut commencer par définir correctement le déterminant. Il est possible d’entamer la leçon en disant que le sous-espace des formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n est de dimension 1 et, dans ce cas, il est essentiel de savoir le montrer. Le plan doit être cohérent ; si le déterminant n’est défini que sur $R$ ou $C$, il est délicat de définir $\det(A-X I_n)$ avec A une matrice carrée. L’interprétation du déterminant comme volume est essentielle. On peut rappeler son rôle dans les formules de changement de variables, par exemple pour des transformations de variables aléatoires. Le calcul explicite est important, mais le jury ne peut se contenter d’un déterminant de Vandermonde ou d’un déterminant circulant. Les opérations élémentaires permettant de calculer des déterminants, avec des illustrations sur des exemples, doivent être présentées. Il est bienvenu d’illustrer la continuité du déterminant par une application, ainsi que son caractère polynomial. Pour les utilisations des propriétés topologiques, on n’ommetra pas de préciser le corps de base sur lequel on se place. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’intéresser aux calculs de déterminants sur Z avec des méthodes multimodulaires. Le résultant et les applications simples à l’intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent aussi trouver leur place dans cette leçon pour des candidats ayant une pratique de ces notions.
(2016 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il faut commencer par définir correctement le déterminant. Il est possible d’entamer la leçon en disant que le sous-espace des formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n est de dimension 1, toutefois, il est essentiel de savoir le montrer. Le plan doit être cohérent ; si le déterminant n’est défini que sur $R$ ou $C$, il est délicat de définir $det(A - XI_n)$ avec $A$ une matrice carrée. L’interprétation du déterminant comme volume est essentielle. Le calcul explicite est important, mais le jury ne peut se contenter que d’un déterminant de Vandermonde ou d’un déterminant circulant. Les opérations élémentaires permettant de calculer des déterminants, avec des illustrations sur des exemples, doivent être présentées. Il serait bien que la continuité du déterminant trouve une application, ainsi que son caractère polynomial. Pour les utilisations des propriétés topologiques, on n’ommetra pas de préciser le corps de base sur lequel on se place. S’ils le désirent, les candidats peuvent s’intéresser aux calculs de déterminant sur $Z$ avec des méthodes multimodulaires ; de plus, le résultant et les applications simples à l’intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent trouver leur place dans cette leçon.
(2015 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.) Il s'agit encore d'une leçon où les résultats abondent et où le candidat devra faire des choix. On doit pouvoir, dans cette leçon, commencer par définir correctement le déterminant. Beaucoup de candidats entament la leçon en disant que le sous-espace des formes dimension n -linéaires alternées sur un espace de n est de dimension 1, ce qui est fort à propos. Toutefois, il est essentiel de savoir le montrer. Il faut que le plan soit cohérent ; si le déterminant n'est défini que sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, il est délicat de définir $\mathsf{det} (A - X I_n)$ avec $A$ une matrice carrée. L'interprétation du déterminant comme volume est essentielle. Le calcul explicite est important, toutefois, le jury ne peut se contenter que d'un Vandermonde ou d'un déterminant circulant ! De même il est envisageable que des candidats s'intéressent aux calculs de déterminant sur $\mathbb{Z}$ avec des méthodes multimodulaires. Le résultant et les applications simples à l'intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent trouver leur place dans cette leçon. Il serait bien que la continuité du déterminant trouve une application, ainsi que son caractère polynomial.
(2014 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.) Il faut que le plan soit cohérent ; si le déterminant n'est défini que sur $R$ ou $C$, il est délicat de définir $det(A - XIn)$ avec $A$ une matrice carrée. L'interprétation du déterminant comme volume est essentielle. Beaucoup de candidats commencent la leçon en disant que le sous-espace des formes $n$-linéaires alternées sur un espace de dimension $n$ est de dimension 1, ce qui est fort à propos. Toutefois, il est essentiel de savoir le montrer. Le jury ne peut se contenter d'un Vandermonde ou d'un déterminant circulant ! Le résultant et les applications simples à l'intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent trouver leur place dans cette leçon. D'une manière générale on attend pendant le développement l'illustration d'un calcul ou la manipulation de déterminants non triviaux. Il serait bien que la continuité du déterminant trouve une application, ainsi que son caractère polynomial.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 149 - Déterminant. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    J'aime bien cette leçon, et je trouve mes développements assez pertinents.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Il me semble que les gens font souvent l'impasse sur cette leçon (en tout cas c'était le cas dans ma prépa agreg) mais ça ne me paraît pas si compliqué de travailler ça. J'ai même plutôt apprécié le faire car j'ai appris plein de trucs notamment sur l'aspect géométrique avec les matrices de Gram : voir le document sur le site de Jérôme Von Buhren.
    J'ai choisi de le définir à la manière de Gourdon (car c'est comme ça que j'avais appris en 1ère année) mais Grifone fait d'une autre manière... à voir selon les préférences.
    Le jour J, je n'aurais certainement pas mis la PROP 34 sur le déterminant de Cauchy car la démonstration est IMMONDE.
    Pour le DEV 2, attention au cas d'égalité, il faut le traiter soigneusement. Il est souvent bâclé dans les références (Gourdon et Grifone)
  • Références :
  • Fichier :

2023 : Leçon 152 - Déterminant. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 152 - Déterminant. Exemples et applications.


2020 : Leçon 152 - Déterminant. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 152 - Déterminant. Exemples et applications.


2018 : Leçon 152 - Déterminant. Exemples et applications.


2017 : Leçon 152 - Déterminant. Exemples et applications.


2016 : Leçon 152 - Déterminant. Exemples et applications.


2015 : Leçon 152 - Déterminant. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 152 - Déterminant. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Bézout faible (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'étais très satisfait de mon plan, basé majoritairement sur… Berhuy (!! bien content de l'avoir amené, malgré son poids) :
    I — Déterminants : définitions
    a. Déterminant d'une famille de vecteurs
    b. Déterminant d'un endomorphisme
    c. Déterminant de matrices
    -> avec l'interprétation géométrique (cf. BMP) et un dessin en annexe (cf. annexe graphique du plan d'EWna!)
    II — Calcul explicite de déterminants
    a. Mineurs et cofacteurs
    b. Pivot de Gauss
    c. Cas pratiques (déterminant par blocs, matrice circulante)
    III — Applications
    a. Polynôme caractéristique
    b. Résultant
    42 items en tout, qui m'ont rempli les trois pages.

    J'ai fait un (je trouve) bon oral, une intro sympa et fluide. Le dev s'est presque bien passé. Presque…

    Questions :

    - J'ai passé un mauvais quart d'heure sur une phrase innocente dans le dev Bézout faible, mais qui ne l'est pas : « Si $(x,y)$ est un zéro commun de $P$ et $Q$, alors $x$ est l'une des racines de $Res_Y(P,Q)$, $y$ est l'une des racines de $Res_X(P,Q)$. » [cf. Foissy, Ninet]
    Non seulement je m'étais perdu dans mes notations au tableau, puis j'avais confondu (et j'ai longtemps confondu $Res_Y$ et $Res_X$)… et surtout je n'avais pas cette proposition dans mon plan, donc il m'a demandé de la redémontrer à partir de mon plan, ce que je ne savais pas faire. C'est la Proposition 7.2.2 dans Fleury 2nde édition : mettez la dans votre plan ! Elle est pas difficile à démontrer mais elle est technique et utilise la représentation du résultant via l'isomorphisme avec les coefficients de Bézout [cf. von zur Gathen, Gerhard], bref… Visiblement la seule femme du jury n'était pas au point avec le résultant, j'entendais le jury qui discutait technique derrière moi. Après quinze minutes de tentatives, ils passent à autre chose en disant « C'est un point technique. »
    - Dans mon intro j'avais dit que le calcul du déterminant par la formule explicite était en complexité « exponentielle » (alors que j'ai écrit $O((n+1)!$) opérations). Ils m'ont demandé de redétailler ces calculs, puis m'ont demandé si j'étais sûr avec mon « exponentielle ». J'ai dit oui, ils m'ont demandé de comparer la factorielle et l'exponentielle, j'ai commencé à dire que factorielle était inférieur à l'exponentielle, puis pour me ressaisir j'ai fait un graphe qui m'a corrigé. « Et mathématiquement, vous le prouvez comment ? » J'ai écrit n! / e^n, je veux prouver que ça tend vers +inf, ils m'ont demandé « quel outil de L1 utiliser ?! » je ne savais pas, j'ai dit qu'on devait utiliser la formule de Stirling, mais que je ne la connaissais pas (« Y a du e, du n, du 2pi, une racine carrée… mais je ne saurai pas la retrouver ») super
    - Comment montrer que det(M) = det($^t m$) ? -> via la formule explicite, et le changement de variable j <- sigma(j) qui est bien valide car on somme sur tous les j donc on ne change pas le det avec une permutation des j
    - Dans mon plan j'avais mis en exemple « Les symétries sont diagonalisables ». Comment faire via le déterminant (et le polynôme caractéristique) ?
    Alors là je dis qu'une symétrie vérifie s² = Id, donc s annule X² - 1, puis je me perds en disant (mais quoi, Id != 1, donc pourquoi!?) et ce sont eux qui me rappellent que quand on étudie un polynôme d'endomorphisme, le coefficient constant est mis en face de Id… bref super [j'ai l'impression que je me suis beaucoup auto-saboté durant mon oral]
    Mais comment utiliser le déterminant ? On me demande alors la définition géométrique d'une symétrie, je donne celle d'une symétrie… orthogonale !
    Mais dans le cas d'un espace pas nécessairement euclidien ? Eh bien je redécouvre, avec l'aide du jury, le concept de symétrie par rapport à un sev, parallèlement à un autre… Bon, j'avais fait des dessins, donc j'espère qu'ils notent la tentative de recherche. Après toutes ces élucubrations, je dis que matriciellement en prenant des bases de V et W, alors la matrice admet des 1 sur le sev V, -1 sur le sev W, donc voilà.
    - Exo : soit u,v deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie, v nilpotent, uv = vu.
    Montrez que det(u+v) = det(u).
    D'abord j'ai commencé avec Dunford sur u + v mais u, v ne sont pas des polynômes en u donc c'est pas nécessairement ça. Ils me disent que commencer avec un exemple, je pars sur les homothéties, pour lesquelles det(u+v) = det(λid + v) ie. le polynôme caractéristique de -v évalué en λ, or -v est nilpotent car v l'est, donc son polynôme caractéristique est X^n, d'où det(u+v) = λ^n. Le temps était écoulé. (ils m'ont dit qu'ensuite j'aurais dû prendre un inversible, puis après généraliser ça par densité)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Trois personnes (2 hommes, une femme). Neutre, aucun sourire contrairement aux deux précédents jurys. Ils m'ont posé des questions, j'ai répondu ou non, l'oral s'est conclu. La personne qui m'a posé la question était quand même intéressée que je demande comment finir l'exercice.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai fait : 45 minutes pour réécrire les titres et sous-parties de mon plan, puis les deux devs (dont suites de polygônes que j'avais dû connaitre par cœur car Isenmann-Pécatte était interdit cette année-là), puis 1 h 45 sur le plan, 10 minutes à faire des dessins en annexe. J'ai passé les dernières minutes à me reposer (pour éviter d'avoir un coup de barre comme le 1er jour), préparer mon intro, et surtout relire la preuve du fait que les formes n-linéaires alternées forment un espace vectoriel de dimension 1, car j'avais peur que le jury m'interroge dessus.

  • Note obtenue :

    11.25


2019 : Leçon 152 - Déterminant. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions autour du développement, sur des passages où j'ai été un peu rapide en laissant les calculs de côté. Et une petite bêtise que j'avais écrit dans un des lemmes du développement et dont la preuve (bonne) ne correspondait pas à ce que je voulais montrer.
    Pas trop de questions sur le plan, plutôt des exercices.
    Un développement de déterminant, une application sur Mn(Z), applications dans le plan R2 et applications en lien avec le développement.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était globalement sympathique, il aidait si besoin et pas du tout cassant. Il faut dire que c'était durant la semaine de la canicule et que les épreuves étaient éprouvantes pour tout le monde.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de surprise particulière dans le déroulement. Attention 3h c'est très court, même si je connaissais mon plan et mes développements, on a peu de temps pour tout écrire. Mon objectif était d'obtenir la moyenne, en ce sens, maîtriser son plan son développement et répondre à quelques questions m'ont assuré du résultat.

  • Note obtenue :

    10


2017 : Leçon 152 - Déterminant. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    120 : Anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Bézout faible (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Montrer det(fog)=det(f)det(g)
    Sur quels corps det est continue?
    Donner un exemple où l'on a exactement dd' points dans le théorème de bezout ( P= (x-x_1)...(x-x_d) et Q=(Y-y_1)...(Y-y_d') )
    GLn(R) est il connexe par arcs, puis montrer que non.
    Et Gln(C) , avec une idée d'une demo.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Aide

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    12


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 301 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 408 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 251 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 458 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 165 versions au total)
Algorithmes fondamentaux , Saux Picart (utilisée dans 6 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 60 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 49 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 93 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 49 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 76 versions au total)
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès (utilisée dans 89 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 132 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 59 versions au total)
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse (utilisée dans 15 versions au total)
Algèbre linéaire , Cognet (utilisée dans 9 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 62 versions au total)
Algèbre , Tauvel (utilisée dans 8 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 377 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)
Cours de mathématiques, tome 1 : Algèbre, Ramis, Deschamps, Odoux (utilisée dans 4 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 134 versions au total)
Elimination. Le cas d'une variable., Apery, Jouanolou (utilisée dans 1 versions au total)