Développement : Déterminant de Vandermonde, inégalité de Hadamard et application

Détails/Enoncé :

Théorème: Soient $x_1,..,x_n\in\mathbb{C}$, on note $V(x_1,..,x_n)\in M_n(\mathbb{C})$ la matrice dont le coefficient $(i,j)$ est $x_j^{i-1}$, et on note $v(x_1,..,x_n)$ son determinant. Alors

\[v(x_1,..,x_n)=\prod_{1\leq i < j\leq n}(x_j-x_i)\]

Théorème: Soit $A\in M_n(\mathbb{C})$, on note $(v_i)_{i=1..n}$ ses colonnes, alors on a l'inégalité de Hadamard:
\[|\det(A)|\leq \prod_{i=1}^{n}\Vert v_i\Vert_2\]
Avec égalité si et seulement si les $(v_i)$ sont deux à deux orthogonales.\smallbreak

Application: Soit $\mathbb{D}$ le disque unité fermé, le maximum de \[f:
(z_1,..,z_n)\mapsto \prod_{1\leq i < j \leq n} |z_j-z_i|\]
pour $(z_1,..,z_n)\in\mathbb{D}^n$ vaut $n^{n/2}$ et est atteint pour les polygônes réguliers exactement.

Recasages pour l'année 2019 :

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