Développement : Déterminant circulant

Détails/Enoncé :

__Version A : Gourdon Algèbre 2eme ed p146 exo 12 : Déterminant circulant__

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\omega = e^{2i\pi/n}$. On considère la matrice $\Omega = \big( \omega^{(i-1)(j-1)} \big)_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

a) Soient $c_0,...,c_{n-1} \in \mathbb{C}$ et

$$
A = \begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &c_{{n-1}}\\c_{{n-1}}&c_{0}&c_{1}&&c_{{n-2}}\\c_{{n-2}}&c_{{n-1}}&c_{0}&&c_{{n-3}}\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\c_{1}&c_{2}&c_{3}&\dots &c_{0}\end{pmatrix}
$$

b) (Application) Si $\theta \in \mathbb{R}$, calculer le déterminant $n\times n$
$$
\begin{pmatrix} \cos \theta & \cos 2 \theta &\dots & \cos n \theta \\ \cos n \theta & \cos \theta && \cos (n-1) \theta \\
\vdots &&\ddots &\vdots \\
\cos 2 \theta & \cos 3 \theta &\dots & \cos \theta \end{pmatrix}
$$


__Version B : ibid p. 180 exo 4 : Diagonalisation d'un déterminant circulant__

On considère la matrice circulante
$$
A = \begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &c_{{n-1}}\\c_{{n-1}}&c_{0}&c_{1}&&c_{{n-2}}\\c_{{n-2}}&c_{{n-1}}&c_{0}&&c_{{n-3}}\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\c_{1}&c_{2}&c_{3}&\dots &c_{0}\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}).
$$

En exprimant $A$ comme un polynôme de la matrice
$$
J={\begin{pmatrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\0&&&&1\\1&0&0&\dots &0\end{pmatrix}} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})
$$

diagonaliser $A$.

Recasages pour l'année 2024 :

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Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 238 versions au total)