Développement : L'algèbre linéaire au service de la théorie des corps : la norme

Détails/Enoncé :

Dans ce développement, si $K$ est un corps et $L/K$ une extension finie, on montre des résultats élémentaires sur le lien entre la norme $N_{K(\alpha)/K}(\alpha)$ d'un élément $\alpha \in L$ et les racines du polynôme minimal $\pi_{K,\alpha}$ dans son corps de décomposition. On utilisera alors ces résultats dans le cadre des corps finis pour en caractériser les carrés ou dans le cadre des anneaux d'entiers de corps de nombre pour en caractériser les éléments inversibles.

Recasages pour l'année 2025 :

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    La partie sur les corps finis n'est pas dans le Gozard mais se retrouve facilement, à vous de voir. Si vous êtes calés en théorie de Galois, vous pourrez plutôt prouver la formule générale que j'ai mise en remarque. Pour la leçon 127, mieux vaut utiliser la norme pour caractériser les inversibles des anneaux d'entiers des corps de nombres !
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    Une idée de développement très sympa trouvée par Matoumatheux, dans laquelle on introduit la norme d'un élément algébrique, suivie de deux applications, une pour caractériser les carrés dans un corps fini (pas juste Fp) et l'autre pour caractériser les entiers d'un corps de nombres (en choisir une seule selon la leçon). J'ai essayé de développer des arguments un peu différents de Matoumatheux pour donner d'autres idées, mais dans l'ensemble c'est la même preuve. J'ai aussi ajouté deux annexes pour démontrer des lemmes que j'utilise et qui peuvent être un peu tricky à prouver.
    Attention, pas de ref pour les applications !

    N'hésitez pas à me contacter en cas de coquilles !
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 57 versions au total)
Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel (utilisée dans 21 versions au total)