Loi de réciprocité quadratique

La seule difficulté est de se rappeler du changement de variable dans le calcul de s(1)^2. Celui que j'utilise n'est pas la seule possibilité mais il faut se rappeler de celle choisie. Il faut s'attendre à une question de calcul concret de symbole de Legendre pour voir l'utilité de ce résultat.
(p153)

Construction des corps finis

La rédaction du Gozard est assez minimaliste et est (je trouve) très bien complétée par les explications de Marie. Je me suis permis de réécrire ce développement avec ma propre rédaction en corrigeant une petite coquille de Marie (stabilité de L par addition), et en espérant ne pas en avoir ajouté.

Le développement est trop court sans les corollaires, qui ne doivent pas être placés juste après le théorème dans le plan car on a besoin du fait que $\mathbb{F}_q^*$ est cyclique.

Théorème de Dirichlet faible

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Ce document est très long, mais c'est parce que j'ai mis beaucoup de commentaires et des démonstrations de quelques propriétés qu'on utilise dans le développement.
PS : Vers la fin j'utilise l'argument : "G est abélien donc non simple", mais c'est aussi parce que G est d'ordre non premier.

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Le document est très long mais c'est parce que je donne beaucoup de détails et de conseils. J'ai mis aussi à la fin des rappels sur les polynômes cyclotomiques (notamment une introduction intuitive), des rappels de constructibilité à la règle et au compas, et une preuve avec la correspondance de Galois.

Théorème de Newton : décomposition en polynômes symétriques élémentaires

Ref : Gozard, Théorie de Galois.

Existence et unicité d'un corps à q éléments

Le théorème central pour l'unité que je ne démontre pas ici est dans le Gozard : Théorie de Galois et n'est pas difficile à retenir.

Attention aux coquilles.

L'algèbre linéaire au service de la théorie des corps : la norme

La partie sur les corps finis n'est pas dans le Gozard mais se retrouve facilement, à vous de voir. Si vous êtes calés en théorie de Galois, vous pourrez plutôt prouver la formule générale que j'ai mise en remarque. Pour la leçon 127, mieux vaut utiliser la norme pour caractériser les inversibles des anneaux d'entiers des corps de nombres !

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques et application aux extensions finies de Q

Développement très classique mais qui passe très bien. Je suis passé dessus le jour de mon oral d'algèbre.
Lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Théorème de Wantzel

Très bon développement où il ne faut pas hésiter à faire des dessins pendant la présentation. En plus de la démonstration du théorème de Wantzel, j'ai ajouté des compléments sur le théorie de la construction à la règle et au compas. Pour cela je me base quasiment exclusivement sur le Gozard.
Le lien vers le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)

Construction des corps finis

Alors là, il y a des choses à dire...
Malgré son caractère très classique, ce développement est sans doute l'un des plus dangereux que j'ai choisi. La masse de connaissance à avoir est énorme, beaucoup de choses doivent être sues, ce qui en fait un développement un peu à double tranchant: d'un côté c'est très bien parce qu'il fait réviser beaucoup de choses, mais d'un autre, il demande énormément de temps de préparation ce qui en fait un développement très peu rentable. La seconde page de mon document est entièrement dédiée à des connaissances dont on a besoin pour la démonstration. Chaque point est assez court, mais la somme est conséquente.
En revanche, dans la leçon sur les corps finis, la maîtrise d'une construction des corps finis est explicitement demandée... On en présente une ici. Si vous faites le choix de prendre ce développement, préparez-le assez tôt dans l'année, de façon à pourvoir le reprendre plusieurs fois et bien le connaître. D'autant plus que le Gozard est franchement minimaliste sur ses explications. Pour couronner le tout, le développement est plutôt long, et on a vite fait de se perdre. Très heureux de ne pas être tombé sur cette horreur le jour J: avec le stress, je pense que ça a vite fait de tourner au vinaigre. Bref à conseiller à ceux et celles qui sont (très) à l'aise sur la théorie des corps, et bon courage!

Côté recasages à mon avis:
Corps finis
Extensions de corps
Polynômes irréductibles à une indéterminée

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]

Pour les leçons : 102, 125, 127, 141, 144.
Attention, ce développement est assez difficile, il faut donc être bien sûr de soi si on le présente et faire attention à tous les petits détails de la preuve. Par exemple, dans la démonstration du Perrin, il y a beaucoup d'arguments qui sont passés sous silence, et sur lesquels le jury vous interrogera obligatoirement !
Je mets aussi un PDF général sur les polynômes cyclotomiques, qui contient également le développement (mieux rédigé que mon développement original car relu par un prof).

Théorème de Dirichlet faible

Pour les leçons : 102, 120, 121.
Je ne pense pas que l'on puisse proposer ce développement en même temps que celui sur les polynômes cyclotomiques.

Intersection de deux corps cyclotomiques

Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Corps finis. Applications.

Extensions de corps. Exemples et applications.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Je recommande fortement le Gozard qui est très agréable à suivre pour cette leçon et très complet.

Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon plus difficile à faire qu'il n'y paraît. Grifone est très bien à suivre (même s'il faut parfois le compléter, avec Gourdon notamment) mais pas de manière linéaire.

Exemples d’équations en arithmétique.

Session 2021.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Extensions de corps. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Goz] Théorie de Galois : Gozard
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per] Cours d'algèbre : Perrin

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Goz] Théorie de Galois : Gozard
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN Al2] Oraux X-ENS Algèbre 2 : Francinou, Gianella, Nicolas

Corps finis. Applications.

Extensions de corps. Exemples et applications.

Pour la partie "corps différentiel", il y a une introduction à la fin du Gozard.. Sinon, voir dans Geddes (anglais).
Le deuxième développement est pas de ouf adapté... J'aurais pris un autre truc genre "automorphismes des F_q" par exemple.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.

Exemples d’équations en arithmétique.

J'ai aussi utilisé le El Amrani Arithmétique

Anneaux Z/nZ. Applications.

J'aurais mis la loi de réciprocité quadratique en 2ème développement.

Corps finis. Applications.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

A la fin de l'année j'aurais rajouté la méthode QR, appliquée à la matrice compagnon associée à un polynôme. Et je changerais la partie localisation de racines.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Plan rédigé durant l'année et présenté devant la classe. Faire attention à la définition de polynômes irréductibles dans le Gozard qui n'est pas classique et qui peut poser des problèmes.