Loi de réciprocité quadratique

La seule difficulté est de se rappeler du changement de variable dans le calcul de s(1)^2. Celui que j'utilise n'est pas la seule possibilité mais il faut se rappeler de celle choisie. Il faut s'attendre à une question de calcul concret de symbole de Legendre pour voir l'utilité de ce résultat.
(p153)

Construction des corps finis

La rédaction du Gozard est assez minimaliste et est (je trouve) très bien complétée par les explications de Marie. Je me suis permis de réécrire ce développement avec ma propre rédaction en corrigeant une petite coquille de Marie (stabilité de L par addition), et en espérant ne pas en avoir ajouté.

Le développement est trop court sans les corollaires, qui ne doivent pas être placés juste après le théorème dans le plan car on a besoin du fait que $\mathbb{F}_q^*$ est cyclique.

Théorème de Dirichlet faible

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Ce document est très long, mais c'est parce que j'ai mis beaucoup de commentaires et des démonstrations de quelques propriétés qu'on utilise dans le développement.
PS : Vers la fin j'utilise l'argument : "G est abélien donc non simple", mais c'est aussi parce que G est d'ordre non premier.

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Le document est très long mais c'est parce que je donne beaucoup de détails et de conseils. J'ai mis aussi à la fin des rappels sur les polynômes cyclotomiques (notamment une introduction intuitive), des rappels de constructibilité à la règle et au compas, et une preuve avec la correspondance de Galois.

Théorème de Newton : décomposition en polynômes symétriques élémentaires

Ref : Gozard, Théorie de Galois.

Existence et unicité d'un corps à q éléments

Le théorème central pour l'unité que je ne démontre pas ici est dans le Gozard : Théorie de Galois et n'est pas difficile à retenir.

Attention aux coquilles.

L'algèbre linéaire au service de la théorie des corps : la norme

La partie sur les corps finis n'est pas dans le Gozard mais se retrouve facilement, à vous de voir. Si vous êtes calés en théorie de Galois, vous pourrez plutôt prouver la formule générale que j'ai mise en remarque. Pour la leçon 127, mieux vaut utiliser la norme pour caractériser les inversibles des anneaux d'entiers des corps de nombres !

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques et application aux extensions finies de Q

Développement très classique mais qui passe très bien. Je suis passé dessus le jour de mon oral d'algèbre.
Lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Théorème de Wantzel

Très bon développement où il ne faut pas hésiter à faire des dessins pendant la présentation. En plus de la démonstration du théorème de Wantzel, j'ai ajouté des compléments sur le théorie de la construction à la règle et au compas. Pour cela je me base quasiment exclusivement sur le Gozard.
Le lien vers le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)

Construction des corps finis

Alors là, il y a des choses à dire...
Malgré son caractère très classique, ce développement est sans doute l'un des plus dangereux que j'ai choisi. La masse de connaissance à avoir est énorme, beaucoup de choses doivent être sues, ce qui en fait un développement un peu à double tranchant: d'un côté c'est très bien parce qu'il fait réviser beaucoup de choses, mais d'un autre, il demande énormément de temps de préparation ce qui en fait un développement très peu rentable. La seconde page de mon document est entièrement dédiée à des connaissances dont on a besoin pour la démonstration. Chaque point est assez court, mais la somme est conséquente.
En revanche, dans la leçon sur les corps finis, la maîtrise d'une construction des corps finis est explicitement demandée... On en présente une ici. Si vous faites le choix de prendre ce développement, préparez-le assez tôt dans l'année, de façon à pourvoir le reprendre plusieurs fois et bien le connaître. D'autant plus que le Gozard est franchement minimaliste sur ses explications. Pour couronner le tout, le développement est plutôt long, et on a vite fait de se perdre. Très heureux de ne pas être tombé sur cette horreur le jour J: avec le stress, je pense que ça a vite fait de tourner au vinaigre. Bref à conseiller à ceux et celles qui sont (très) à l'aise sur la théorie des corps, et bon courage!

Côté recasages à mon avis:
Corps finis
Extensions de corps
Polynômes irréductibles à une indéterminée

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]

Pour les leçons : 102, 120(on utilise grandement la réduction modulo p), 123(on se place dans Z/pZ et on utilise le morphisme de Frobenius), 125, 127, 141, 144,
Attention, ce développement est assez difficile, il faut donc être bien sûr de soi si on le présente et faire attention à tous les petits détails de la preuve. Par exemple, dans la démonstration du Perrin, il y a beaucoup d'arguments qui sont passés sous silence, et sur lesquels le jury vous interrogera obligatoirement !
Je mets aussi un PDF général sur les polynômes cyclotomiques, qui contient également le développement (mieux rédigé que mon développement original car relu par un prof).

Théorème de Dirichlet faible

Pour les leçons : 102, 120, 121.
Je n'ai pas choisi ce développement finalement, donc attention il y a peut être des fautes.

Intersection de deux corps cyclotomiques

Le recasage est le suivant :
***** 125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
***** 127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.
***** 141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et
applications.
***** 148 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie).
Rang. Exemples et applications.
**** 102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
*** 142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Le dernier est assez discutable, mais comme ça utilise beaucoup les propriétés de PGCD et PPCM, donc c'est tolérable.

Existence et unicité d'un corps à q éléments

Pour les leçons : (120),121, 123, 125, 141.
Je montre d'abord l'existence et l'unicité avec les corps de décomposition, puis l'autre construction avec le corps de rupture d'un polynôme irréductible. Avant la deuxième construction il faut avoir mis dans le plan que F_q^* est cyclique.
Ce développement est pour moi un bon investissement car le rapport du jury stipule que la construction des corps finis doit être connue.
J'ai aussi utlisé comme livre : Algèbre Tome 4, Szpirglas

Critère d'Eisenstein

Pour les leçons : (120),121, 122, 141, 142.

Construction des corps finis

Étant donné l’importance de ces résultats dans l’étude des corps finis, je pense qu’il est préférable de savoir les prouver (ou du moins avoir une idée de preuve). Cela est d’autant plus important si vous souhaitez présenter le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini, puisque ce dernier utilise ce théorème. Et quitte à savoir le prouver, autant en faire un développement. D’autre part, comme c’est souvent le cas en théorie des corps, il vaut mieux perdre en rigueur au profit d’une rédaction plus lisible. C’est pourquoi on identifie tous les corps de cardinal $p$ sous la notation $\mathbb{F}_p$. Toutefois, gardez bien en tête qu’il s’agit d’un abus de notation.

Intersection de deux corps cyclotomiques

Recasages: 102, 125, 127, 141, 142 (les 2 derniers sont un peu abusifs)

J'aurai admis le lemme sur le sous-corps engendré par 2 corps qui n'est pas très intéressant. Ce résultat est vite balancé dans la littérature et je trouve pas l'avoir très bien fait. On peut consulter ce qu'a fait Etienne PEILLON dessus, il en a discuté en long en large et en travers avec nos profs.

En terme de temps, ça se fait en 14min30. Je pense qu'il est fondamental de faire la tour d'extensions au tableau.

Théorème de Dirichlet faible

- Les polynômes cyclotomiques sont dans $\mathbb{Z}[X]$ ;
- Version faible du théorème de Dirichlet.

Leçons concernées : 102, 120, 121

Théorème de Wantzel

- Stabilité des nombres constructibles positifs par racine carrée ;
- Théorème de Wantzel et corollaire sur le degré des nombres constructibles ;
- Impossibilité de la duplication du cube et de la trisection de l'angle.

Leçons concernées : 125, 127, 148, 191

Corps des nombres algébriques

Pour les leçons : 125, 127, 144, 148.
Je démontrais les équivalences pour être un nombre algébrique, et le fait que l'ensemble des éléments algébriques est un corps.
Ce développement peut paraitre élémentaire, mais je pense qu'il faut de toute façon le maitriser car ce sont des questions qui peuvent tomber à l'écrit comme à l'oral.

[SZP] Algèbre Tome 4, Szpirglas

Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Corps finis. Applications.

Extensions de corps. Exemples et applications.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Je recommande fortement le Gozard qui est très agréable à suivre pour cette leçon et très complet.

Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon plus difficile à faire qu'il n'y paraît. Grifone est très bien à suivre (même s'il faut parfois le compléter, avec Gourdon notamment) mais pas de manière linéaire.

Exemples d’équations en arithmétique.

Session 2021.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Extensions de corps. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Goz] Théorie de Galois : Gozard
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per] Cours d'algèbre : Perrin

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Goz] Théorie de Galois : Gozard
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN Al2] Oraux X-ENS Algèbre 2 : Francinou, Gianella, Nicolas

Corps finis. Applications.

Extensions de corps. Exemples et applications.

Pour la partie "corps différentiel", il y a une introduction à la fin du Gozard.. Sinon, voir dans Geddes (anglais).
Le deuxième développement est pas de ouf adapté... J'aurais pris un autre truc genre "automorphismes des F_q" par exemple.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.

Exemples d’équations en arithmétique.

J'ai aussi utilisé le El Amrani Arithmétique

Anneaux Z/nZ. Applications.

J'aurais mis la loi de réciprocité quadratique en 2ème développement.

Corps finis. Applications.

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

A la fin de l'année j'aurais rajouté la méthode QR, appliquée à la matrice compagnon associée à un polynôme. Et je changerais la partie localisation de racines.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Plan rédigé durant l'année et présenté devant la classe. Faire attention à la définition de polynômes irréductibles dans le Gozard qui n'est pas classique et qui peut poser des problèmes.

Nombres premiers. Applications.

Plan réalisé en conditions réelles durant un oral blanc. Ma professeure l'a validé, et a dit que son point fort était que des domaines variés étaient abordés donc que cela incitait le jury à poser des questions sur un peu tout le plan.
Dans cette leçon il y a énormément de choix possibles, donc il faut mettre ce sur quoi on est le plus à l'aise. En revanche la première grande partie me semble incontournable, même si je ne pense pas que les questions du jury porteront beaucoup dessus.
Durant la défense du plan, il faut bien insister sur la pertinence des objets étudiés (par exemple justifier la place des polynômes cyclotomiques dans cette leçon).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin et Ewna. Merci à elles/eux !
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

J'ai pas aimé préparé cette leçon car il y a pleins de choses à dire et surtout pleins de références à utiliser. Comme je fais l'impasse sur la géométrie, cette partie est minimaliste mais il y a de quoi en faire beaucoup plus.

J'utilise le Tauvel pour la partie exponentielle complexe, FGN pour le 1er dév, Gozard et Ortiz pour le 2e dév, Peyré pour la dualité et Perrin pour la géométrie et les polynômes cyclotomiques. On pourrait aussi utiliser le Grifone si on veut faire plus de géométrie.

Extensions de corps. Exemples et applications

Je trouve qu'il y a pas mal de choses à raconter dans cette leçon. La dernière partie est essentiellement là pour le 2e dév. Je pense que c'est bien de faire des schémas d'extensions, les profs d'algèbre kiffent ça.

J'utilise le Ulmer et Perrin pour le plan, Gourdon pour le 1er dév, Gozard et Ortiz pour le 2e dév.

Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.

Je suis pas très convaincu par ma 1ère partie et le fait le point 2 se répète dans les 2 parties. Je pense qu'il faut impérativement se placer sur C et pas aller voir dans d'autres corps, mais la notion de nombre est vague... Je parle de corps cyclotomiques parce que j'ai un dév dessus.

J'utilise Tauvel pour l'exponentielle complexe, Gourdon pour les nombres transcendants, le Perrin pour la 2e partie, Gozard et Ortiz pour les corps cyclotomiques.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Mon plan est assez basique, on pourrait rajouter quelques critères d'irréductibilité, notamment en lien avec le degré des extensions. J'ai galéré à trouver un 2e dév potable et j'ai beaucoup hésité avec les nombres algébriques. Finalement, j'ai opté pour les corps cyclotomiques qui utilise de manière sous-jacente l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques. Mais il y a certainement mieux à faire.

J'utilise le Perrin pour la majeure partie du plan avec le Ulmer pour la partie extension, le Gozard et Ortiz pour les corps cyclotomiques.

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

N'étant pas en option C, je connais pas vraiment d'algo à part Euclide. Mais on pourrait parler de Berlekamp ou Cantor-Zassenhaus j'imagine. Je suis pas convaincu par ma toute dernière sous-partie ni même par le dév mais c'est ce que j'avais sous la main.

J'utilise le Rombaldi pour quasiment tout le plan en complément avec le Ulmer, le Gourdon pour quelques cas, le Gozard et Ortiz pour le 2e dév.

Corps finis. Applications.

Plan pas très compliqué, j'utilise juste le Perrin et le Gozard, d'autant plus que certaines parties se retrouvent dans d'autres leçons.
Avant de faire cette leçon, je ne connaissais aucun résultat sur les carrés dans $\mathbb{F}_q$. Franchement c'est un bon investissement car cela remplit la leçon et les preuves sont simples.
Ma partie sur l'irréductibilité de polynômes est peut être un peu longue, mais bon pour chaque critère on se place à un moment dans $\mathbb{F}_p$ donc c'est justifié.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Extensions de corps. Exemples et applications

Une de mes leçons préférées. Il suffit de suivre le Perrin, sauf pour la partie sur la clotûre algébrique qui je trouve est mieux faite dans le Gozard.
Si vous passez dessus, ayez le réflexe de faire des tours d'extensions, cela permet de mieux visualiser les extensions. Et les schémas sont toujours appréciés par le jury.
Si l'on fait le développement sur l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques dans cette leçon, il faut insister sur le corollaire qui permet de connaitre le degré d'une extension cyclotomique.

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Plan ultra classique, il y a vraiment zéro prise de risques.
Je pense que pendant la présentation de 6 minutes, il faut insister sur l'utilité des corps de rupture et de décomposition, cela permet de faire "vivre" la leçon.
Si j'étais passé dessus le jour J, j'aurais enlevé la sous-partie sur la clotûre algébrique par manque de place (je préférais me concentrer sur les corps finis car leur construction utilise les corps de rupture et de décomposition, on peut d'ailleurs le présenter comme développement).

Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.