Groupe des isométries du cube [no recasage]

"Élu produit de l'année" dans le NH2G2 Tome 2.

Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8

C'est l'exercice E.21 page 333 du livre de Caldero, tome 2 (nouvelle édition).
En complément, la preuve de la classification des groupes d'ordre 8 est faite dans le livre de Francinou et Gianella (Attention, ce n'est pas un FGN !)

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible

Le groupe SO2(Fq)

Extrema liés

J'ai combiné deux références et repris des éléments des preuves précédentes en corrigeant 2/3 coquilles. J'en ai profité pour faire un tir groupé sur les sous-variétés.

Quaternions et isomorphismes exceptionnels

On démontre des isomorphismes exceptionnels liés aux quaternions. C'est l'objet des deux théorèmes.

Nombre de solutions à une équation dans un groupe fini G

p.394

Entiers algébriques et caractères irréductibles

Développement très long, clairement ne faire qu'un seul des deux résultants. N'utilise vraiment que la définition du résultant donc ne devrait pas faire fuir les candidats qui ne suivent pas l'option C. La proposition que je fais en bonus tout à la fin peut être bonne à connaître. En revanche, il n'y a pas de référence à ma connaissance.

Le groupe SO2(Fq)

Pas spécialement difficile et assez élégant.

Le groupe SO3(R) est simple

Il peut être bon de se pencher sur le théorème de Cartan-Dieudonné pour aborder ce développement.

Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible

Développement 1.15 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
On démontre seulement que le degré d'une représentation irréductible divise le cardinal du groupe.
On en déduit, un lemme rigolo : si $G$ est d'ordre $n$ impair, avec $k$ classes de conjugaison, alors $$n \equiv k \pmod 8$$
Recasages : 103, 104 et 144

Indicateur de Frobenius-Schur

Développement 1.16 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
Je pense qu'il faut avoir pris du recul sur la preuve pour la présenter.
Le rapport du jury en parle dans la leçon "formes quadratiques réelles", ce qui me semble être hors-sujet.

Isométries du cube

Recasages: 101, 104, 105, 161, 191

Rombaldi [2e édition] p85-89
Caldero NH2G2 II p219-223


Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Le groupe SO2(Fq)

Recasages (ou non):
- 106, 123 sans aucune hésitation
- 104, 190 ça peut se défendre
- 120, 162 c'est carrément abusé
- 102 je ne vois pas le rapport

J'ai écrit ce document à partir de celui de Augustin LOIRAT, en apportant quelques détails sur certains passages.
C'est vraiment un très beau développement, mathématiquement très riche !

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Ce document est très long, mais c'est parce que j'ai mis beaucoup de commentaires et des démonstrations de quelques propriétés qu'on utilise dans le développement.
PS : Vers la fin j'utilise l'argument : "G est abélien donc non simple", mais c'est aussi parce que G est d'ordre non premier.

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Je mets ce pdf ici car je n'ai pas trouvé de référence complète qui soit convaincante. Je trouve le développement mal fait dans 131 devs. L'essentiel du développement est dans le livre de Rauch mais j'ai du compenser certains résultats (ceux qui portent sur l'algèbre d'un groupe) par un exo corrigé qui se trouve dans NH2G2 II. Je n'exclus pas les erreurs et les coquilles, merci de me prévenir si vous en trouvez.

Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg

Les deux développements son plutôt hors sujet. C'est une leçon intéressante en soi, mais comme je ne veux pas parler de LU, QR & cie., je manque de choses à dire. Pour combler le vide, j'ai détaillé l'entièreté de l'algorithme du pivot de Gauss, mais ce n'est pas une bonne solution...

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Bcp de possibilités pour les développements :
- isomorphismes exceptionnels
- p-Sylow de GL_n(F_q) (prop 14 de mon plan)
- Nb d'endo diagonalisable sur M_n(F_q)
- Nb d'endo nilpotent sur M_n(F_q) avec lemme de Fitting
- Automorphismes de S_n
- Décomposition de Bruhat + action sur les drapeaux.

Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Version manuscrite; ce plan a été fait en oral blanc en 1h30. Peut être aurais-je un jour l'occasion de le taper. Leçon vaste, j'ai parlé géométrie affine, isométries, groupes d'isométries, coniques, et construction à la règle et au compas. On m'a reproché un manque d'invariant, mais à part ça, le plan est pas trop mal de ce que j'ai compris.
Petite erreur : j'ai mis qu'il y avait 6 solides platoniciens; mais il y en a 5, dont un de multiplicité 2 ! (Le tétraèdre qui est son propre dual)
Dans ma défense, j'ai dit qu'on allait insister sur la symbiose formée par l'algèbre et la géométrie : l'algèbre apporte bcp à la géométrie qui lui rend bien. Ca a plu.
Quelques questions qu'ont m'a posé : beaucoup de questions sur mon développement (SO2(F_q), je suis passé avec quelqu'un à qui j'avais posé beaucoup de questions sur le thème qui était donc rodée!)
pourquoi le groupe des homothéties translations est distingué?
pourquoi D4 et H8 ont la même table de caractères?
pourquoi je dis qu'il y a 6 solides platoniciens?
Des questions sur les coniques et leurs classifications (je ne maîtrise pas très bien ce thème que je trouve difficile, et qu'on explore assez peu pendant notre scolarité, je me suis donc mis une pile là dessus et me suis forcé à en parler dans cette leçon)
Puis des questions sur les coordonnées barycentriques : comment on les exprime? J'ai dit que c'était avec un déterminant entre les deux vecteurs qui vont bien, sauf qu'on a pas de base, alors comment on exprime notre det ? et bien on prend une base.... mais pourquoi c'est indépendant de la base? Puis on m'a fait prouver la formule (c'est un système de Cramer). Encore un truc avec lequel je ne suis pas du tout à l'aise, mais au moins cet oral a été instructif, c'était le but!