Groupe des isométries du cube [doublon]

"Élu produit de l'année" dans le NH2G2 Tome 2.

Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8

C'est l'exercice E.21 page 333 du livre de Caldero, tome 2 (nouvelle édition).
En complément, la preuve de la classification des groupes d'ordre 8 est faite dans le livre de Francinou et Gianella (Attention, ce n'est pas un FGN !)

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible

Le groupe SO2(Fq)

Extrema liés

J'ai combiné deux références et repris des éléments des preuves précédentes en corrigeant 2/3 coquilles. J'en ai profité pour faire un tir groupé sur les sous-variétés.

Quaternions et isomorphismes exceptionnels

On démontre des isomorphismes exceptionnels liés aux quaternions. C'est l'objet des deux théorèmes.

Nombre de solutions à une équation dans un groupe fini G

p.394

Entiers algébriques et caractères irréductibles

Développement très long, clairement ne faire qu'un seul des deux résultants. N'utilise vraiment que la définition du résultant donc ne devrait pas faire fuir les candidats qui ne suivent pas l'option C. La proposition que je fais en bonus tout à la fin peut être bonne à connaître. En revanche, il n'y a pas de référence à ma connaissance.

Le groupe SO2(Fq)

Pas spécialement difficile et assez élégant.

Le groupe SO3(R) est simple

Il peut être bon de se pencher sur le théorème de Cartan-Dieudonné pour aborder ce développement.

Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible

Développement 1.15 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
On démontre seulement que le degré d'une représentation irréductible divise le cardinal du groupe.
On en déduit, un lemme rigolo : si $G$ est d'ordre $n$ impair, avec $k$ classes de conjugaison, alors $$n \equiv k \pmod 8$$
Recasages : 103, 104 et 144

Indicateur de Frobenius-Schur

Développement 1.16 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
Je pense qu'il faut avoir pris du recul sur la preuve pour la présenter.
Le rapport du jury en parle dans la leçon "formes quadratiques réelles", ce qui me semble être hors-sujet.

Isométries du cube

Recasages: 101, 104, 105, 161, 191

Rombaldi [2e édition] p85-89
Caldero NH2G2 II p219-223


Mon site: https://esuong-maths.fr

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Le groupe SO2(Fq)

Recasages (ou non):
- 106, 123 sans aucune hésitation
- 104, 190 ça peut se défendre
- 120, 162 c'est carrément abusé
- 102 je ne vois pas le rapport

J'ai écrit ce document à partir de celui de Augustin LOIRAT, en apportant quelques détails sur certains passages.
C'est vraiment un très beau développement, mathématiquement très riche !

Mon site: https://esuong-maths.fr

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Ce document est très long, mais c'est parce que j'ai mis beaucoup de commentaires et des démonstrations de quelques propriétés qu'on utilise dans le développement.
PS : Vers la fin j'utilise l'argument : "G est abélien donc non simple", mais c'est aussi parce que G est d'ordre non premier.

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Je mets ce pdf ici car je n'ai pas trouvé de référence complète qui soit convaincante. Je trouve le développement mal fait dans 131 devs. L'essentiel du développement est dans le livre de Rauch mais j'ai du compenser certains résultats (ceux qui portent sur l'algèbre d'un groupe) par un exo corrigé qui se trouve dans NH2G2 II. Je n'exclus pas les erreurs et les coquilles, merci de me prévenir si vous en trouvez.

Isométries du cube

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Le recasage est indécent. En plus ça permet de caser cette immondice qu'est la leçon barycentres

Action à gauche de GLm(K) sur Mnm(K)

Ne mâchons pas nos mots: un développement affreux, de loin le pire de ma liste. Mais il avait pile les recasages dont j'avais besoin à la fin de l'année. Le développement est quand même assez long du fait, à mon avis, des nombreuses choses qu'il faut expliquer au jury pour que l'exposé soit intelligible: type d'une matrice échelonnée par exemple. Rendre l'exposé compréhensible et complet en un quart d'heure est à mon avis un vrai défi de pédagogie, beaucoup plus qu'un défi mathématique. Mais bon, pour des (a priori) futurs profs, c'est aussi bien utile. Je souhaite tout mon courage à ceux qui le choisiront, parce que pour parler franchement, on rigole pas trop, le coeur du développement étant une récurrence assez fastidieuse. Pour ce qui est des références, le NH2G2 le fait très honnêtement. Côté recasages à mon avis:

162 : Systèmes linéaires.
101 : Action opérant sur un ensemble.

Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Isométries du cube

Il est important de visualiser ce que dit ce théorème.

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Document LateX non vérifié par un professionnel : attention aux coquilles !

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

NH2G2 Tome second Caldero page 66 + Rombaldi page 148.
Couplé avec les leçons 101, 106, 123, 152, 190

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Je conseille ce développement, car il se recase plutôt bien, et qu'il est moralement pas bien compliqué à mon sens. J'ai présenté ce développement devant mes professeurs; donc j'ai ajouté quelques commentaires et remarques sur ce que pourrait demander le jury comme questions connexes.
N'hésitez pas à me contacter si vous voyez une coquille !

SO₃(R) et les quaternions

Bizarrement je n'ai aucun atome crochu ni avec les quaternions, ni avec les groupes hermitiens, mais c'était l'occasion de s'y accoutumer (ça sent un peu le thème d'écrit). Le nombre de recasages est infini et l'isomorphisme est vraiment utile, de la topologie (groupe fondamental de $SO(3))$ à l'informatique (représentation des rotations). Le travail de fond est quasi nul : faire un grand exo sur les quaternions et réviser la leçon sur les matrices unitaires, i. e. un bon petit dév sans surprise.

Isométries du cube

Le dev est au recto, lemmes et autres remarques au verso.
Réf : Le cours d'un enseignant, se retient facilement
Recasage : 101, 104, 105, 108, 161, 191

Remarque : Résultat très sympa. Connaissez bien la correspondance (le jury peut vous poser la question). Je vous conseille de faire un plan de démo en 4 item et de prendre votre temps (faites un dessin !)

Groupe des isométries du cube

Développement pas trop dur mais faut quand même un peu s'entraîner et pas oublier de faire un dessin.

Le groupe SO2(Fq)

Il faut aller assez vite pour le présenter mine de rien.
Je l'avais mis comme item dans ma leçon (la 106) le jour J et le jury m'a fait faire une autre preuve qui utilisait des formes quadratiques et de la théorie de Galois. Je pense que c'est pas mal de savoir que ce développement peut nous emmener dans ce genre de choses (après j'avais plutôt bien réussi mon oral donc c'était quand même un question assez avancée).

Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg

Les deux développements son plutôt hors sujet. C'est une leçon intéressante en soi, mais comme je ne veux pas parler de LU, QR & cie., je manque de choses à dire. Pour combler le vide, j'ai détaillé l'entièreté de l'algorithme du pivot de Gauss, mais ce n'est pas une bonne solution...

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Bcp de possibilités pour les développements :
- isomorphismes exceptionnels
- p-Sylow de GL_n(F_q) (prop 14 de mon plan)
- Nb d'endo diagonalisable sur M_n(F_q)
- Nb d'endo nilpotent sur M_n(F_q) avec lemme de Fitting
- Automorphismes de S_n
- Décomposition de Bruhat + action sur les drapeaux.

Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Il y a en fichiers ma version manuscrite; faite en oral blanc en 1h30. Je viens de taper le plan en tex. Leçon vaste, j'ai parlé géométrie affine, isométries, groupes d'isométries, coniques, et construction à la règle et au compas. On m'a reproché un manque d'invariant, mais à part ça, le plan est pas trop mal de ce que j'ai compris.
Petite erreur : j'ai mis qu'il y avait 6 solides platoniciens; mais il y en a 5, dont un de multiplicité 2 ! (Le tétraèdre qui est son propre dual)
Dans ma défense, j'ai dit qu'on allait insister sur la symbiose formée par l'algèbre et la géométrie : l'algèbre apporte bcp à la géométrie qui lui rend bien. Ca a plu.
Quelques questions qu'ont m'a posé : beaucoup de questions sur mon développement (SO2(F_q), je suis passé avec quelqu'un à qui j'avais posé beaucoup de questions sur le thème qui était donc rodée!)
pourquoi le groupe des homothéties translations est distingué?
pourquoi D4 et H8 ont la même table de caractères?
pourquoi je dis qu'il y a 6 solides platoniciens?
Des questions sur les coniques et leurs classifications (je ne maîtrise pas très bien ce thème que je trouve difficile, et qu'on explore assez peu pendant notre scolarité, je me suis donc mis une pile là dessus et me suis forcé à en parler dans cette leçon)
Puis des questions sur les coordonnées barycentriques : comment on les exprime? J'ai dit que c'était avec un déterminant entre les deux vecteurs qui vont bien, sauf qu'on a pas de base, alors comment on exprime notre det ? et bien on prend une base.... mais pourquoi c'est indépendant de la base? Puis on m'a fait prouver la formule (c'est un système de Cramer). Encore un truc avec lequel je ne suis pas du tout à l'aise, mais au moins cet oral a été instructif, c'était le but!

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Il faut mettre en avant d'un côté l'action d'un groupe sur un ensemble et d'un autre côté d'un groupe sur lui-même afin de dégager le plus de propriétés possibles et d'illustrer un maximum ces propriétés par des exemples variés dans divers domaines (algèbre linéaire/commutative, théorie des groupes, géométrie, ...).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Il faut parler des classes de conjugaison et connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints et savoir l'appliquer en pratique.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Cette leçon n'est pas la plus évidente à faire... Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe. Il faut également savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en dimension 2 ou 3 à partir d'une matrice (cas vectoriel) ou d'un système (cas affine).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

Cette leçon là est très difficile car la convexité dans R^n est peu abordée en CPGE et à la fac et le fait qu'il n'y ait plus "Barycentres" dans l'intitulé de leçon ne laisse pas grand chose de bien intéressant à dire (même le rapport du jury semble ne pas trop savoir quoi dire...). Mes deux développements sont passables mais sans plus car on exploite d'avantage la notion d'isobarycentre et de point extremal pour le second...

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Cette leçon est très intéressante car elle est immense et elle permet ainsi de vraiment choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. On peut par exemple piocher dans les groupes, la géométrie euclidienne et affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité par exemple ! Autrement dit, il est possible de faire une leçon qui n'a aucun point commun avec la mienne mais qui soit très bien faite !

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

Ah la la cette leçon ! C'est une impasse pour beaucoup de gens (ce que je comprends), mais grâce à une bonne amie, j'ai pu avoir les outils pour la travailler et je me suis lancé pour la faire et la présenter en classe. Elle demande pas mal de travail, et honnêtement je ne sais pas si c'est un si bon investissement que ça mais personnellement elle m'a beaucoup plu.
Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire plein d'exercices d'application plus ou moins "futée" de ces théorèmes. On trouve de belles applications du TFI dans le Beck (EX29 et EX30).
Après, il y a la partie difficile : les sous-variétés... Le Lafontaine les traite, mais de là à dire qu'il les traite d'une façon parfaitement claire... C'est autre chose... Dans notre prépa agreg, on a demandé à un prof de nous faire un mini-cours sur les sous-variétés. Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir mais ça reste difficile : la définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, et toutes les caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent. Il faut connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples ! Trouver l'espace tangent en un point à la sphère, à $\text{SL}_n(\mathbb{R})$, à $O_n(\mathbb{R})$... Et ça suffit, pas besoin d'aller vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes, d'atlas ou je ne sais quoi...)
Dans l'optique de travailler toutes ces notions, je conseille d'essayer de faire en développement le théorème des extrema liés (voir ma version du DEV). Le seul problème, c'est qu'il n'y a pas de référence à proprement parler pour ce développement, à part le Avez Calcul Différentiel mais c'est un vieux livre de calcul diff franchement pas très digeste...
Pour finir, si j'étais tombé dessus le jour J, je n'aurais certainement pas mis EX33, THM52 et EX57 (je fais l'inégalité de Hadamard autrement).

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

J'aime bien.

Groupes finis. Exemples et applications.

J'aime bien.

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

J'aime bien.

Exponentielle de matrices. Applications.

J'aime pas.

Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

J'aime pas.

Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

J'aime pas.

Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

Leçon sur laquelle je suis passé en oral blanc et que j’ai vraiment aimé préparé !

J’opte pour 3 parties : une sur les espaces euclidiens, que je mets en lien dans une partie 2 avec les nombres de module 1/racines de l’unité et une 3ème partie utilisant des outils présentés tout au long de la leçon avec la théorie des nombres constructibles.

Le plan a été validé par le prof et est vraiment facile à faire : on peut presque tout faire en suivant le Audin puis le Carrega ! Les autres références ne sont là que pour 1 def ou 1 remarque (ou 1 dev).

ATTENTION : Ma dernière figure est fausse, j’ai fait une erreur dans la construction à cause de la précipitation.

Il manque juste le Isenmann en réf pour la partie déterminant circulant.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe.
Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J.

Groupes finis. Exemples et applications.

Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe.
Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J.

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe.
Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J.

Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe.
Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J.

Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.

Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe.
Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J.