Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2

Philippe Caldero et Jérôme Germoni

Utilisée dans les 15 développements suivants :

Le groupe SO3(R) est simple
Extrema liés
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
Groupe des isométries du cube [no recasage]
Le groupe SO2(Fq)
Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8
Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible
Quaternions et isomorphismes exceptionnels
Entiers algébriques et caractères irréductibles
Nombre de solutions à une équation dans un groupe fini G
Isométries du cube
Action à gauche de GLm(K) sur Mnm(K)
Indicateur de Frobenius-Schur
Théorème de Burnside (Groupes simples)

Utilisée dans les 10 leçons suivantes :

162 (2025) Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
190 (2025) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
191 (2025) Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
101 (2025) Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
105 (2025) Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
161 (2025) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
181 (2025) Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
214 (2025) Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.
104 (2025) Groupes finis. Exemples et applications.
155 (2025) Exponentielle de matrices. Applications.

Utilisée dans les 22 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages (ou non):
    - 106, 123 sans aucune hésitation
    - 104, 190 ça peut se défendre
    - 120, 162 c'est carrément abusé
    - 102 je ne vois pas le rapport

    J'ai écrit ce document à partir de celui de Augustin LOIRAT, en apportant quelques détails sur certains passages.
    C'est vraiment un très beau développement, mathématiquement très riche !

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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  • Développement :
  • Remarque :
    Ne mâchons pas nos mots: un développement affreux, de loin le pire de ma liste. Mais il avait pile les recasages dont j'avais besoin à la fin de l'année. Le développement est quand même assez long du fait, à mon avis, des nombreuses choses qu'il faut expliquer au jury pour que l'exposé soit intelligible: type d'une matrice échelonnée par exemple. Rendre l'exposé compréhensible et complet en un quart d'heure est à mon avis un vrai défi de pédagogie, beaucoup plus qu'un défi mathématique. Mais bon, pour des (a priori) futurs profs, c'est aussi bien utile. Je souhaite tout mon courage à ceux qui le choisiront, parce que pour parler franchement, on rigole pas trop, le coeur du développement étant une récurrence assez fastidieuse. Pour ce qui est des références, le NH2G2 le fait très honnêtement. Côté recasages à mon avis:

    162 : Systèmes linéaires.
    101 : Action opérant sur un ensemble.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Utilisée dans les 15 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Il y a en fichiers ma version manuscrite; faite en oral blanc en 1h30. Je viens de taper le plan en tex. Leçon vaste, j'ai parlé géométrie affine, isométries, groupes d'isométries, coniques, et construction à la règle et au compas. On m'a reproché un manque d'invariant, mais à part ça, le plan est pas trop mal de ce que j'ai compris.
    Petite erreur : j'ai mis qu'il y avait 6 solides platoniciens; mais il y en a 5, dont un de multiplicité 2 ! (Le tétraèdre qui est son propre dual)
    Dans ma défense, j'ai dit qu'on allait insister sur la symbiose formée par l'algèbre et la géométrie : l'algèbre apporte bcp à la géométrie qui lui rend bien. Ca a plu.
    Quelques questions qu'ont m'a posé : beaucoup de questions sur mon développement (SO2(F_q), je suis passé avec quelqu'un à qui j'avais posé beaucoup de questions sur le thème qui était donc rodée!)
    pourquoi le groupe des homothéties translations est distingué?
    pourquoi D4 et H8 ont la même table de caractères?
    pourquoi je dis qu'il y a 6 solides platoniciens?
    Des questions sur les coniques et leurs classifications (je ne maîtrise pas très bien ce thème que je trouve difficile, et qu'on explore assez peu pendant notre scolarité, je me suis donc mis une pile là dessus et me suis forcé à en parler dans cette leçon)
    Puis des questions sur les coordonnées barycentriques : comment on les exprime? J'ai dit que c'était avec un déterminant entre les deux vecteurs qui vont bien, sauf qu'on a pas de base, alors comment on exprime notre det ? et bien on prend une base.... mais pourquoi c'est indépendant de la base? Puis on m'a fait prouver la formule (c'est un système de Cramer). Encore un truc avec lequel je ne suis pas du tout à l'aise, mais au moins cet oral a été instructif, c'était le but!
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    Ah la la cette leçon ! C'est une impasse pour beaucoup de gens (ce que je comprends), mais grâce à une bonne amie, j'ai pu avoir les outils pour la travailler et je me suis lancé pour la faire et la présenter en classe. Elle demande pas mal de travail, et honnêtement je ne sais pas si c'est un si bon investissement que ça mais personnellement elle m'a beaucoup plu.
    Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire plein d'exercices d'application plus ou moins "futée" de ces théorèmes. On trouve de belles applications du TFI dans le Beck (EX29 et EX30).
    Après, il y a la partie difficile : les sous-variétés... Le Lafontaine les traite, mais de là à dire qu'il les traite d'une façon parfaitement claire... C'est autre chose... Dans notre prépa agreg, on a demandé à un prof de nous faire un mini-cours sur les sous-variétés. Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir mais ça reste difficile : la définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, et toutes les caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent. Il faut connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples ! Trouver l'espace tangent en un point à la sphère, à $\text{SL}_n(\mathbb{R})$, à $O_n(\mathbb{R})$... Et ça suffit, pas besoin d'aller vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes, d'atlas ou je ne sais quoi...)
    Dans l'optique de travailler toutes ces notions, je conseille d'essayer de faire en développement le théorème des extrema liés (voir ma version du DEV). Le seul problème, c'est qu'il n'y a pas de référence à proprement parler pour ce développement, à part le Avez Calcul Différentiel mais c'est un vieux livre de calcul diff franchement pas très digeste...
    Pour finir, si j'étais tombé dessus le jour J, je n'aurais certainement pas mis EX33, THM52 et EX57 (je fais l'inégalité de Hadamard autrement).
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