Développement : Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Détails/Enoncé :

En étudiant l'action de $Isom^+$ sur les diagonales du cube et de $Isom$ sur les sommets du tétraèdre, on détermine les groupes d'isométries de ceux-ci.

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    Je n'ai pas de référence particulière. L'action naturelle de $Isom^+$ sur les diagonales du cube donne immédiatement un morphisme à valeurs dans $\mathfrak{S}_4$ qui se trouve être une bijection : l'injectivité est claire (repère affine conservé) et la surjectivité vient de la réalisation des permutations (par rotation d'angle $\pi$). Enfin, le centre de symétrie implique que Isom $\simeq$ Isom$^+ \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Pour le tétraèdre, on réalise les permutations grâce à des réflexions selon les plans médiateurs des paires de sommets. L'injectivité est obtenue par conservation d'un repère affine. Enfin, comme $\mathfrak{A}_4$ est le seul sous-groupe d'indice $2$ de $\mathfrak{S_4}$, on a Isom$^+ \simeq \mathfrak{A}_4$.

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 93 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 58 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 20 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 285 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni (utilisée dans 19 versions au total)