Développement : Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

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En étudiant l'action de $Isom^+$ sur les diagonales du cube et de $Isom$ sur les sommets du tétraèdre, on détermine les groupes d'isométries de ceux-ci.

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    Je n'ai pas de référence particulière. L'action naturelle de $Isom^+$ sur les diagonales du cube donne immédiatement un morphisme à valeurs dans $\mathfrak{S}_4$ qui se trouve être une bijection : l'injectivité est claire (repère affine conservé) et la surjectivité vient de la réalisation des permutations (par rotation d'angle $\pi$). Enfin, le centre de symétrie implique que Isom $\simeq$ Isom$^+ \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Pour le tétraèdre, on réalise les permutations grâce à des réflexions selon les plans médiateurs des paires de sommets. L'injectivité est obtenue par conservation d'un repère affine. Enfin, comme $\mathfrak{A}_4$ est le seul sous-groupe d'indice $2$ de $\mathfrak{S_4}$, on a Isom$^+ \simeq \mathfrak{A}_4$.