Leçon 160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

(2020) 160
(2022) 160

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Dans cette leçon, le caractère euclidien de l’espace est essentiel pour que l’endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le jury met les candidats en garde sur le fait que le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l’utilisation du fait que l’orthogonal d’un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l’adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction d’endomorphismes normaux peut être évoquée. $\\$ L’étude des projections orthogonales (en lien avec le calcul de distances), des rotations, des réflexions, des renversements, etc. fournit des exemples dignes d’intérêt. Une illustration pertinente peut s’appuyer sur la description de problèmes de moindres carrés en faisant ressortir le rôle de l’hypothèse de rang plein de $A$ sur le caractère inversible de $A^TA$.

(2017 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Dans cette leçon, le caractère euclidien de l’espace est essentiel pour que l’endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le jury met les candidats en garde sur le fait que le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l’utilisation du fait que l’orthogonal d’un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l’adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction d’endomorphismes normaux peut être évoquée. Une illustration pertinente peut s’appuyer sur la description de problèmes de moindres carrés en faisant ressortir le rôle de l’hypothèse de rang plein de A sur le caractère inversible de $A {}^T A$.
(2016 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension nie).) Dans cette leçon, le caractère euclidien de l’espace est essentiel pour que l’endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l’utilisation du fait que l’orthogonal d’un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l’adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction de endomorphismes normaux peut être évoquée.
(2015 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Dans cette leçon, les candidats doivent bien prendre conscience que le caractère euclidien de l'espace est essentiel pour que l'endomorphisme soit remarquable. Par exemple, des développements comme le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford n'ont rien à faire ici. En revanche, l'utilisation du fait que l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l'adjoint doit être mis en valeur.
(2014 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Les candidats doivent bien prendre conscience que le caractère euclidien de l'espace est essentiel pour que l'endomorphisme soit remarquable. Par exemple, des développements comme le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford n'ont rien à faire ici. En revanche, l'utilisation du fait que l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l'adjoint doit être mis en valeur.

Développements :

Plans/remarques :

2020 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2018 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2017 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2016 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension nie).


2015 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Leçon choisie :

    160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Autre leçon :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions du jury :
    - Lorsque l'on parle d'homéomorphisme dans la décomposition polaire, de quelles topologies parle-t-on ?
    - Quelles peuvent être les applications du théorème spectral ? Je ne vois pas ce que le jury veut me faire dire, on me demande donc à quel objet peut s'associer une matrice symétrique. Je répond donc que le théorème spectral peut servir à l'étude générale des formes quadratiques, le jury me demande de l'expliquer.
    - Expliquez pourquoi on peut simultanément diagonaliser deux endomorphismes symétriques qui commutent.
    - Montrez l'existence et l'unicité de l'adjoint. Je réponds que ça découle du théorème de Riesz-Fréchet en dimension finie, que le jury me demande de démontrer.
    - Montrez que l'ensemble des matrices symétriques définies positives est ouvert dans l'ensemble des matrices symétriques. Le jury s'attendait à ce que j'utilise la caractérisation par les mineurs principaux.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury, très neutre, laissait du temps pour réfléchir et n'aidait que si je ne m'en sortais pas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le tableau était très petit ce qui était un peu déstabilisant pour le développement.

  • Note obtenue :

    14


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 237 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 77 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 50 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 285 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 23 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 130 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 276 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 37 versions au total)
Géométrie, Audin (utilisée dans 21 versions au total)
Matrices , Serre (utilisée dans 10 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 92 versions au total)